OliForum Matematico

Per ogni n, $ $n \choose k $ $$ $ <= \frac{1}{2} *2^n$ $ e la disuguaglianza è stretta per almeno un k se n ≥ 2.
Voi come lo dimostrate? Soprattutto la seconda parte.
Grazie mille

dato che il binomiale vuole $ $0\leq k\leq n $, la seconda parte e' abbastanza facile dato che per $ $k=0 \lor n $ il binomiale vale 1

SkZ ha scritto:dato che il binomiale vuole $ $0\leq k\leq n $, la seconda parte e' abbastanza facile dato che per $ $k=0 \lor n $ il binomiale vale 1

Ho capito

Si potrebbe anche dimostrare che la disuguaglianza stretta vale per ogni $ k $ (ovviamente compreso tra 0 ed n) se si prende $ n>2 $

il bello e' beccare tutti i modi. ce n'e' per tutti i gusti.

fatto noto:

$ \displaystyle\sum_{k~dispari}{n\choose k}=\sum_{k~pari}{n\choose k}=2^{n-1} $

visto che questo fatto implica direttamente la tesi, dimostratelo

salva90 ha scritto:fatto noto:

$ \displaystyle\sum_{k~dispari}{n\choose k}=\sum_{k~pari}{n\choose k}=2^{n-1} $

visto che questo fatto implica direttamente la tesi, dimostratelo

Si può per caso vederlo con il triangolo di Tartaglia?

Per gli n pari l'idea va bene, il problema affrontandolo così si incontra trattando gli n dispari...

Si tratta $ $(1-1)^n$ $ con il binomio di Newton

ma ti serve anche $ $(1+1)^n=2^n $

Ok.. Scusate l'ignoranza, ma lo siamo tutti prima che qualcuno ci insegni.. Cosa vuol dire disuguaglianza stretta?

Solo $ $<$ $ senza $ $=$ $

si ha anche che

piace l'induzione?
$ $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\leq 2^{n-1}+2^{n-1}=2^{n} $

posto $ $m=\big\lfloor \frac{n}{2} \big\rfloor $
$ $\binom{n}{k}\leq \binom{n}{m}=2^n\prod_{k=1}^{n-m}\left(1-\frac{1}{2k}\right)\leq 2^n\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=2^{n-1} $

per $ $n=2m+1 $
$ $\binom{n}{k}\leq\sum_{k=0}^m\binom{n}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^{n-1} $