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a proposito di INDAM: ho fatto un problema del 2006/2007 che è molto facile:
trovare per quanti vaolri del numero intero positivo $ m $ la quantità $ m^2+3m $è un quadrato perfetto.
l'ho risolto abbastanza facilmente però la mia versione è un po' diversa da quella delle soluzioni. volevo sapere se come avevo ragionato era giusto.
non lo metto in bianco data la facilità del problema.

si cercano eventuali valori di m per cui $ m^2+3m=k^2 $ con $ k $appartenente a $ N $

si fattorizza: $ m(m+3)=k^2 $
i possibili valori dei fattori a primo membro possono essere rispettivamente:
$ k $ e $ k $
$ k^2 $ e $ 1 $
$ 1 $ e $ k^2 $
il primo lo si esclude subito perchè se m=k allora non può essere che $ m+3=k $
il secondo viene $ k^2=-2 $ impossibile
il terzo viene $ m=1 $ e $ k^2=4 $quindi solo per un valore di $ m $, ovvero per $ m=1 $
potrebbe andare no?
perchè le soluzioni la fanno abbastanza più lunga

Attenzione: quello che hai detto potrebbe funzionare solo se k è primo... Certo, m e m+3 non possono avere molti fattori comuni...

ma se notassimo, per esempio, che $ (m+1)^2<m^2+3m<(m+2)^2 $ per $ ~m>1 $?

salva90 ha scritto:ma se notassimo, per esempio, che $ (m+1)^2<m^2+3m<m>1 $?

cioè notare che quella quantità sta tra due quadrati di binomi vicini?

Nonno Bassotto ha scritto:Attenzione: quello che hai detto potrebbe funzionare solo se k è primo... Certo, m e m+3 non possono avere molti fattori comuni...

appunto
si vede che possono essere al massimo multipli di 3
per tutti gli n diversi da 3 se si avesse che m è congruo a 0 modn
3 sarebbe congruo a 0 modn il che è assurdo

se m=3d

9d^2+9d=k^2 quindi 9d(d+1)=k^2
deve essere d(d+1)=h^2 dove k^2=9h^2
e si vede che per nessun d intero positivo si ha un quadrato perfetto.
quindi si può prendere k primo
vanno bene queste considerazioni?

matteo16 ha scritto:

salva90 ha scritto:ma se notassimo, per esempio, che $ (m+1)^2<m^2+3m<(m+2)^2 $ per $ m>1 $?

cioè notare che quella quantità sta tra due quadrati di binomi vicini?

non c'entrano i binomi.

qualsiasi valore che si da a m (eccetto 1) quella roba sta tra il quadrato di un numero e quello del numero successivo, in mezzo ai quali non può esservi un altro quadrato

salva90 ha scritto:

matteo16 ha scritto:

salva90 ha scritto:ma se notassimo, per esempio, che $ (m+1)^2<m^2+3m<m>1 $?

cioè notare che quella quantità sta tra due quadrati di binomi vicini?

non c'entrano i binomi.

qualsiasi valore che si da a m (eccetto 1) quella roba sta tra il quadrato di un numero e quello del numero successivo, in mezzo ai quali non può esservi un altro quadrato

sì avevo intuito solo che mi sono spiegato molto male

Oppure, piu banalmente, se non si ha l'intuizione che ha avuto salva, una volta che si ha l'equazione $ $m^2+3m-k^2=0$ $ si pone il delta uguale a un quadrato, cioè $ $9+4k^2=n^2$ $ che si fattorizza come $ $(n-2k)(n+2k)=9$ $, eccetera

fede90 ha scritto:Oppure, piu banalmente, se non si ha l'intuizione che ha avuto salva, una volta che si ha l'equazione $ $m^2+3m-k^2=0$ $ si pone il delta uguale a un quadrato, cioè $ $9+4k^2=n^2$ $ che si fattorizza come $ $(n-2k)(n+2k)=9$ $, eccetera

ah certo è vero, si può fare anche così

Posso proporre una mia risoluzione? Ditemi se vi sembra plausibile...
Considero l'uguaglianza: $ m^2+3m = m^2+2m+1+m-1 = (m+1)^2+m-1 $
$ m^2+3m $ risulta essre un quadrato perfetto solo per $ m = 1 $
C'è qualche errore?

La tua soluzione funziona anche se al posto di m+1 nella parentesi c'è un k generico, diciamo k=3, ma a quel punto se m=8 viene un quadrato perfetto. Il fatto che un polinomio p(x) non sia scomponibile in un quadrato perfetto non vuol dire che non esiste un x tale che p(x)=i^2.

julio14 ha scritto:La tua soluzione funziona anche se al posto di m+1 nella parentesi c'è un k generico, diciamo k=3, ma a quel punto se m=8 viene un quadrato perfetto. Il fatto che un polinomio p(x) non sia scomponibile in un quadrato perfetto non vuol dire che non esiste un x tale che p(x)=i^2.

Ok, chiaro In effetti potrebbero anche esistere due numeri, uno quadrato e l'altro non necessariamente quadrato, la cui somma è un quadrato.

matteo16 ha scritto:

Nonno Bassotto ha scritto:Attenzione: quello che hai detto potrebbe funzionare solo se k è primo... Certo, m e m+3 non possono avere molti fattori comuni...

appunto
si vede che possono essere al massimo multipli di 3
per tutti gli n diversi da 3 se si avesse che m è congruo a 0 modn
3 sarebbe congruo a 0 modn il che è assurdo

scusa se rispolvero un vecchio topic, ma non ho capito questo passaggio

Penso volesse dire questo:

Sia $ p $ un primo che divide entrambi $ m, m+3 $.

Allora $ m\equiv 0 \pmod{p}, \ m+3 \equiv 0\pmod{p} $.

Dalle due congruenze ottengo $ 3\equiv 0 \pmod{p} $. Cioè solo $ p=3 $ può essere il loro divisore comune.

EUCLA ha scritto:Penso volesse dire questo:

Sia $ p $ un primo che divide entrambi $ m, m+3 $.

Allora $ m\equiv 0 \pmod{p}, \ m+3 \equiv 0\pmod{p} $.

Dalle due congruenze ottengo $ 3\equiv 0 \pmod{p} $. Cioè solo $ p=3 $ può essere il loro divisore comune.

capito grazie