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Non riesco a percorrere una strada sicura e a districarmi tra sistemi di riferimento.

Una fune ideale (inestensibile e di massa trascurabile) di lunghezza l = 12 m passa intorno ad una
carrucola (anch’essa ideale) con asse orizzontale e raggio R << l. Due scimmie, di uguale peso,
afferrano i due capi della fune alla stessa distanza l/2 dalla carrucola e iniziano
contemporaneamente ad arrampicarsi con accelerazioni costanti rispetto alla fune, rispettivamente
pari a a1 = 0.5 m/s2 e a2 = 1.0 m/s2.
Determinare i tempi t1 e t2 impiegati dalle due scimmie per raggiungere la carrucola.

Quello della fune non è inerziale, o si?

Allora, quando la scimmia tenta di salire, quello che fa lo possiamo vedere come un tirare giù la corda, cioè esercitare una forza verso il basso.
Per l'equilibrio delle forze, sia $ a $ l'accelerazione del sistema corda+scimmie, $ a' $ l'accelerazione per la scimmia_1, $ a'' $ l'accelerazione per la scimmia_2. Considero positivo lo spostamento della corda verso destra al di sopra della carrucola.

$ 2ma=ma''-ma' $. Ma $ a''=g+a_2 $, $ a'=g+a_1 $.

Dunque $ 2a=g+a_2-g-a_1 \Rightarrow a=\displaystyle \frac{a_2-a_1}{2}>0 $.

Diciamo allora che dopo un tempo $ t_1 $ la scimmietta se ne arriva alla carrucola. Il punto $ A $ però, si è mosso di una distanza $ s=\displaystyle \frac{1}{2}at_1^2 $ facilitando il compito alla scimmia_1, il cui percorso si è accorciato di $ s $.
Per la scimmia: $ \displaystyle \frac{l}{2}-s=\frac{1}{2}a_1t_1^2 $ , da cui ottengo $ \displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2l}{a_1+a_2}} $.

A questo punto sarebbe meglio che la scimmietta_1 puntasse una zampa contro la carrucola, per intendersi, non deve più far scivolare il filo, altrimenti rischia di fare una brutta fine.
Consideriamo $ t_2=t_1+t_x $.
Nel tempo $ t_x $ la scimmietta si muoverà con accelerazione $ a_2 $, dovendo percorrere uno spazio $ $ l-\bigg(\frac{l}{2}+s\bigg)-h_2 =\frac{1}{2}a_2t_x^2 $.
Dopo un pò di calcoli si trova $ $ t_x^2=\frac{l}{a_2}+\frac{a}{a_2}t_1^2-t_1^2 $ e se dovesse tornare qualche assurdo, tipo negativo, cosa che non ho voglia di controllare perchè mi toccherebbe cercare una calcolatrice, abbiamo sbagliato tutto e arrivava prima l'altra scimmia.

E' giusto?

A me viene lo stesso risultato di EUCLA..che se avesse usato la calcolatrice penso avrebbe trovato $ t_x=0 $ infatti continuando i conti (sostituendo a e $ t_1 $) risulta che le scimmie arrivano nello stesso momento. Questo dipende dal fatto che si è supposto che entrambe le scimmie hanno la stessa massa altrimenti arriva prima (a quanto mi risulta) la scimmia che pesa di meno...

EUCLA ha scritto:Per l'equilibrio delle forze, sia $ a $ l'accelerazione del sistema corda+scimmie, $ a' $ l'accelerazione per la scimmia_1, $ a'' $ l'accelerazione per la scimmia_2. Considero positivo lo spostamento della corda verso destra al di sopra della carrucola.

$ 2ma=ma''-ma' $. Ma $ a''=g+a_2 $, $ a'=g+a_1 $.

Me lo illustri meglio? Più passo passo intendo

Si basa sull'equilibrio delle forze.
$ F_1 $ è la forza che esercita la scimmietta_1 sulla corda, $ F_2 $ è quella della scimmietta_2.

$ F_1=mg+ma_1, \ F_2=mg+ma_2 \rightarrow F_{net}=F_1-F_2 $

Se $ a $ è l'accelerazione del sistema $ F_{net}=(m+m)a=2ma $.

E' più chiaro ora? Probabilmente ti sfuggiva qualcosa di veramente ovvio