OliForum Matematico

Ciao.. Lo so che sono impedito ma voglio che mi spiegate questo..

Per evitare ambiguità, conveniamo che, come usuale, un numero intero non possa cominciare per zero. Un numero intero positivo si dice palindromo se la sua espressione in base 10, letta in ordine inverso (da destra a sinistra) rappresenta ancora lo stesso numero. Detto $ p_5 $ il numero di palindromi di 5 cifre, $ p_6 $ il numero di palindromi di 6 cifre, $ p_7 $, il numer di palindromi di 7 cifre, quale delle seguenti affermazioni è corretta?

(A) $ 10 $$ p_5 $ = $ p_6 $ e $ 10 $$ p_6 $ = $ p_7 $
(B) $ p_5 $ = $ p_6 $ e $ 10 $ $ p_6 $ = $ p_7 $
(C) $ 10 $ $ p_5 $ = $ p_6 $e $ p_6 $=$ p_7 $
(D) $ p_5 $ = $ p_6 $ = $ p_7 $
(E) nessuna delle precedenti

dovrebbe essere la B

lo risolvo utilizzando, però, la combinatoria.

prendiamo il numero di 5 cifre. vediamo quanti di questi sono palindromi.

le cifre devono essere simmetriche. quindi se $ x,y,z $ sono le cifre si avrà $ xyzyx $

il primo numero lo posso scegliere in 9 modi.
il secondo in 10 modi(si può scegliere anche 0 come seconda cifra. per la prima no ovviamente perchè non sarebbe di 5 cifre il numero).
il terzo numero in 10 modi.
il quarto numero e il quinto numero in un unico modo(devono essere uguali al primo e al secondo rispettivamente).
i modi totali sono: $ 9\cdot 10\cdot 10=900 $
si hanno 900 palindromi di 5 cifre.
li stessi ragionamenti con quelli di 6 e di 7 cifre.

il primo in 9 modi
il secondo e il terzo in 10 modi. rimangono 3 cifre che si possono scegliere in 1 modo. 900 palindromi di 6 cifre.


il primo in 9 modi. il secondo, il terzo e il quarto in 10 modi(la quarta cifra non ha la simmetrica) e gli altri tre in 1 modo. 9000 palindromi di 7 cifre.

si ha quindi $ p_5=p_6 $ e $ 10p_6=p_7 $

oppure si nota che quando si hanno 5 cifre bisogna decidere le prime 3, con 6 anche, quindi $ p_5=p_6 $, mentre con 7 bisongnerà decidere una cifra in più, quindi 10 volte più di $ p_5 $ e $ p_6 $

Grazie...!! La risposta esatta è la (B) {come se ci fosse bisogno della conferma}
Vi adoro Matematici!!!