OliForum Matematico

1:
MOLTO FACILE
2:
presi due punti A,B esterni alla circonferenza di centro C e raggio r, posti ad uguale distanza R, sia alfa l'angolo ACB.
Trovare il percorso minimo che collega A e B toccando almeno in un punto la circonferenza, senza oltrepassarla, e misurarne la lunghezza
NB credo dovessero essere distinti 3 casi sull'angolo alfa
3:
Preso un numero n, costruire un quadrato di lato n^2, suddiviso in n^2 quadratini di lato unitario.Annerendo i lati di alcuni quadretti, costruirvi un labirinto, in modo che: a)muovendosi SOLO sui lati anneriti si possa sempre raggiungere il bordo del quadrato, da qualunque lato annerito si parta. b)ciascun punto del labirinto DEVE essere collegato con ogni altro (cioè, i lati anneriti non possono fare figure chiuse). c) ogni quadrato 2x2 contenga almeno un lato annerito AL SUO INTERNO.
DIMOSTRARE CHE LA LUNGHEZZA DEI LATI ANNERITI E' INDIPENDENTE DALLA LORO FORMA.
4:
6 città hanno inviato 5 persone ciascuna ad un convegno. Al convegno ci sono 6 tavoli da 5. In quanti modi si possono disporre le 30 persone senza che ci siano concittadini allo stesso tavolo?
5:
a)Un poliedro convesso ha un numero di facce dispari. se ogni faccia ha lo stesso numero di lati, dimostrare che tale numero è necessariamente 4.
b)Un poliedro convesso è tale che cmq scelte due facce esiste una rotazione dello spazio che le scambia, lasciando invariato il poliedro complessivamente.Dimostrare che il numero di facce è pari.
6:
Sia Q il solido formato unendo i punti medi degli spigoli di un cubo C di lato l.
DESCRIVERE (?) l'ottaedro regolare H che intersecando il cubo dà proprio Q.
Trovare il volume di H unione C

Beh almeno posta il testo anche del primo :

presi tre numeri interi relativi $ \displaystyle p_1, p_2, p_3 $ e tre interi positivi $ q_1, q_2, q_3 $ tali che:

$ $|p_1q_2 - p_2q_1| = |p_1q_3 - p_3q_1| = |p_2q_3 - p_3q_2| = 1$ $

verifica che, con un eventuale riordinamento delle coppie $ $(p_1, q_1), (p_2, q_2), (p_3, q_3)$ $, si ha $ $p_3 = p_2 + p_1$ $ e $ $q_3 = q_2 + q_1$ $.

N.B: con un eventuale riordinamento delle tre coppie significa che, a seconda di come scegliamo i 6 numeri, si ha $ $p_3 = p_2 + p_1$ $, oppure $ $p_2 = p_1 + p_3$ $, oppure $ $p_1 = p_2 + p_3$ $, e così anche per gli altri tre.

P.S:
forse era meglio se postavi ciascun problema nella sua sezione adatta .

2 e 6 sono veramente facili

2. Siano P il punto che verifica la minima distanza ed M l'intersezione della circonferenza iniziale con l'asse di AB. M è il punto della circonferenza che ha minima distanza da AB. Tracciamo la perpendicolare $ h $ da B ad AB, e poi le parallele a AB per M e per P, che intersecano $ h $ in H e H': per quanto appena detto $ HB\leq H'B $. Ora costuiamo i segmenti simmetrici di MB rispetto a MH e di PB rispetto a PH', che intersecano $ h $ in B' e B'': per quanto appena detto $ BB'=2\cdot HB \leq 2\cdot H'B=BB'' $. Quindi $ AM+MB=AM+MB'=AB'\leq AB'' \leq AP+PB''=AP+PB $, quindi M deve coincidere con P. L'angolo $ \alpha $ deve essere compreso fra 0 e $ \theta $ dove $ \theta $ è l'angolo $ A \hat C B $ quando AB è tangente alla circonferenza iniziale

Scusate, quanti ne avete fatti voi?
@Algebert: Visto che anche te sarai al Sant'Anna...quanti ne hai fatti?

Vabbè. il 3 se non erro è un remix di un vecchio problema, se non erro la lunghezza è (n-2)^2+2(n-1)-1. Ma potrei anche sbagliarmi.

AndBand89 ha scritto:Scusate, quanti ne avete fatti voi?
@Algebert: Visto che anche te sarai al Sant'Anna...quanti ne hai fatti?

Non gufare, per favore !
Comunque ne ho fatti (nota: fatti non coincide necessariamente con giusti) 5, tutti tranne il 5°. Forse dovrei aver fatto bene il primo, il terzo e l'ultimo (anche se ho sbagliato un conto per un 2 perso per la via, comunque il ragionamento c'era) e forse anche il quarto.

HumanTorch ha scritto:2. Siano P il punto che verifica la minima distanza ed M l'intersezione della circonferenza iniziale con l'asse di AB. M è il punto della circonferenza che ha minima distanza da AB. Tracciamo la perpendicolare $ h $ da B ad AB, e poi le parallele a AB per M e per P, che intersecano $ h $ in H e H': per quanto appena detto $ HB\leq H'B $. Ora costuiamo i segmenti simmetrici di MB rispetto a MH e di PB rispetto a PH', che intersecano $ h $ in B' e B'': per quanto appena detto $ BB'=2\cdot HB \leq 2\cdot H'B=BB'' $. Quindi $ AM+MB=AM+MB'=AB'\leq AB'' \leq AP+PB''=AP+PB $, quindi M deve coincidere con P. L'angolo $ \alpha $ deve essere compreso fra 0 e $ \theta $ dove $ \theta $ è l'angolo $ A \hat C B $ quando AB è tangente alla circonferenza iniziale

ma la minima distanza tra A e B non è $ 2(R+r) $?

Io per il secondo problema (ovviamente supergrane si è scordato di dire che $ \displaystyle R > r $) ho inteso il testo come se chiedesse il minimo percorso che unisce A e B tra tutti gli infiniti possibili, non distinguendo tre casi (che dovrebbero essere $ \displasytyle \alpha $ acuto, $ \displasytyle \alpha $ ottuso, e $ \displasytyle \alpha $ tale che la retta che contiene A e B sia tangente alla circonferenza, per ciascuno dei quali vi è un minimo possibile) come ha detto supergrane.
Perciò fatta questa premessa si capisce che il minimo percorso si ha sempre per valori di $ \displasytyle \alpha $, $ \displasytyle R $ e $ \displasytyle r $ tali che la retta contenente A e B sia tangente alla circonferenza C. Dunque da semplici calcoli trigonometrici tale distanza vale $ x = 2Rsen\left(\frac{\alpha}{2}\right) $.

Algebert ha scritto:

AndBand89 ha scritto:Scusate, quanti ne avete fatti voi?
@Algebert: Visto che anche te sarai al Sant'Anna...quanti ne hai fatti?

Non gufare, per favore !
Comunque ne ho fatti (nota: fatti non coincide necessariamente con giusti) 5, tutti tranne il 5°. Forse dovrei aver fatto bene il primo, il terzo e l'ultimo (anche se ho sbagliato un conto per un 2 perso per la via, comunque il ragionamento c'era) e forse anche il quarto.

Nono, era inteso SARAI a fare l'esame

AndBand89 ha scritto:Nono, era inteso SARAI a fare l'esame

Si ovviamente, era solo per fare un po' di ironia !

Nel problema 2 erano ammessi anche tratti curvi (ho chiesto personalmente), perciò direi che la risposta cambia un po'...

Ma nel primo, siccome chiedeva di verificare, teoricamente bastava sostituire?

In bocca al lupo per domani!!!

L'ale ha scritto:
Ma nel primo, siccome chiedeva di verificare, teoricamente bastava sostituire?

Effettivamente dopo un'ora che ci sbattevo la testa (a me tanto semplice non sembrava) ho pensato anch'io che se non mi veniva niente in mente, la sostituzione sarebbe andata alla grande. Però non credo sai..

L'ale ha scritto:Nel problema 2 erano ammessi anche tratti curvi (ho chiesto personalmente), perciò direi che la risposta cambia un po'...

non cambia nulla.

quel coso deve passare per 3 punti.
tra i primi due, il percorso minimo è la retta (segmento in questo caso); idem tra il secondo e il terzo.

sostituendo si dimostrava che le due parti di tesi sono equivalenti, non penso bastasse