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Ultimamente ho deciso di mettere fine a quella mia grande lacuna che sono le disuguaglianze, e ho trovato quest'esercizio carino dalle nazionali iraniane.
Astenersi esperti (e anche link a soluzioni, se sono abbastanza vecchie)

Siano a,b,c tre numeri reali positivi distinti. Prova che
$ $\left|\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}\right|>1 $

Visto che è ciclica, posso supporre $ $a \le b \le c$ $?

Ho provato a tirare fuori qualcosa...

$ \displaystyle \left|\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}\right|>1 $$ \displaystyle \Rightarrow -1>\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}>1 $

Vediamo il primo caso

$ \displaystyle \frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}>1 $

$ \displaystyle \left \begin{matrix}a+b=x \\ b+c=y \\ c+a=z \end{matrix}\right \} \Rightarrow \begin{matrix}a-b=z-y \\ b-c=x-z \\ c-a=y-x \end{matrix} $

Per cui la disuguaglianza diventa

$ \displaystyle \displaystyle \frac{x}{z-y}+\frac{y}{x-z}+\frac{z}{y-x}>1 $

ma poi? qualche indizio?

mod_2 ha scritto:Visto che è ciclica, posso supporre $ $a \le b \le c$ $?

ma non dovrebbe essere $ $a < b < c$ $?

mod_2 ha scritto:Visto che è ciclica, posso supporre $ $a \le b \le c$ $?

Non vorrei dire boiate, ma dovrebbe essere possibile grazie al modulo. Se vuoi stare sicuro, puoi distinguere i due casi $ $a<b<c $ e $ $a>b>c $, gli altri sono equivalenti a uno di questi due casi proprio perchè è ciclica. Se non ci fosse il modulo, i due casi sarebbero diversi: le terne 345,453,534 danno un risultato, 543,435,354 ne danno un altro.

Sì è vero. Allora se posso supporre questa cosa, mi viene così

$ $\left| \frac{a+b}{a-b} + \frac{b+c}{b-c} + \frac{c+a}{c-a} \right| >1$ $

$ $\left| \frac{a-b+2b}{a-b} + \frac{b-c+2c}{b-c} + \frac{c-a+2a}{c-a} \right| >1$ $

$ $\left| 3+ \frac{2b}{a-b} + \frac{2c}{b-c} + \frac{2a}{c-a} \right| >1$ $

Supponendo $ $a < b < c$ $ possiamo scrivere
$ $b=a+k$ $
$ $c=a+k+l$ $
con k e l maggiori di 0

La disuguaglianza diventa

$ $\left| 3+ \frac{2a+2k}{-k} + \frac{2a+2k+2l}{-l} + \frac{2a}{k+l} \right| >1$ $

Usando lo stesso trucco di prima possiamo scriverlo anche come

$ $\left| -1- \frac{2a}{k} - \frac{2a+2k}{l} + \frac{2a}{k+l} \right| >1$ $

Grazie al modulo, ci basta dimostrare che

$ $\frac{2a}{k}+\frac{2a+2k}{k}>\frac{2a}{k+l}$ $

oppure

$ $\frac{2a}{k}>\frac{2a}{k+l}$ $

ma quest'ultima disuguaglianza è vera perché $ $2ak+2al>2ak \Longrightarrow 2al>0$ $