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PROBLEMA: io ho un evento che ha probabilità di capitare $ p $. Si fanno $ n $ di questi esperimenti in cui si vede se l'evento è capitato oppure no. sia $ q $ una percentuale minore di p. Voglio sapere qual è la probabilità $ x(n) $ che sia capitato un numero di eventi favorevoli compreso tra $ (p-q)*n $ e $ ((p+q)*n) $. Il problema mi sembra difficile, quindi probabilmente non vi è una formula esatta per esprimere esattamente tale probabilità, però, dato che mi interessa, vorrei sapere per lo meno se ne esiste una stima almeno per $ n $ grosso, cioè se esistono 2 funzioni $ a(n) $ e $ b(n) $, un intero v e una percentuale z tali che si ha che x(n) è compreso tra a(n) e b(n) per n>v.

EDIT: scusate avevo sbagliato le richieste perchè avevo in mente com p=1/2 (testa o croce) e ho confuso a generalizzare...

ESEMPIO PRATICO: faccio 6000 lanci di dado. Voglio sapere qual è la probabilità che il numero 1 sia uscito un numero di volte compreso tra 950 e 1050 volte.
In questo esempio ho preso n=6000, p=1/6, q=50/6000. Vorrei sapere la probabilità nel caso generale. Mi sembra che sia un problema molto importante nella statistica ma non riesco minimamente a trovare neanche una formula che dia con buon approssimazione il suo andamento.

Dato un certo $ k\le n $ la probabilità che l'evento si verifichi esattamente k volte è $ $\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $ dove $ $\binom nk $ sono i sottoinsiemi $ A_i $ di k elementi dell'insieme N di tutti i tentativi, $ $p^k $ è la probabilità che in tutti i k tentativi di un $ A_i $ si realizzi l'evento, e $ $(1-p)^{n-k} $ è la probabilità che in tutti gli altri tentativi non si realizzi l'evento. Quindi la formula (a meno di miei soliti strafalcioni) è:
$ $\sum_{k=n(p-q)}^{n(p+q)}\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $

ok anch'io avevo pensato a questo... quello che mi chiedevo era se esisteva una funzione (esponenziale, polinomiale, composizioni etc...) che approssimava tale sommatoria. Poi ieri ho visto un libro di statistica e da quanto ho capito la gaussiana (o meglio l'area di 1 sua sezione) approssima bene tale sommatoria (per n grande e p piccolo). Confermate?

quella e' la distribuzione binomiale, la mamma di tutte le distribuzioni.

Si dimostra che il caso continuo rappresentato dalla gaussiana approssima la distribuzione binomiale per un numero moooolto grande di eventi indipendenti