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Siano $ \displaystyle p_1, p_2, p_3 $ interi relativi e $ \displaystyle q_1, q_2, q_3 $ interi positivi tali che

$ \displaystyle |p_1q_2-q_1p_2|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1 $

Dimostrare che, dopo un eventuale riordinamento delle coppie $ \displaystyle (p_1,q_1) , (p_2,q_2) , (p_3,q_3) $ si ha che $ \displaystyle p_3=p_1+p_2 $ e $ \displaystyle q_3=q_1+q_2 $.

Good work!

La mia soluzione a dire il vero mi sembra un po' sporca... La scrivo ed eventualmente mi dite che ne pensate.

Poichè quei tre mostri in valore assoluto sono uguali ad 1, ce ne devono essere almeno due uguali tra loro. Per le simmetrie del problema (possiamo riordinare quanto ci pare) e per semplicità supponiamo che siano i primi due. Allora si ha:

$ \displaystyle p_1q_2 - q_1p_2 = p_1 q_3 - p_3 q_1 $

Da cui

$ \displaystyle \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2 - p_3}{q_2 - q_3} $

Si vede facilmente che la frazione al LHS è ridotta ai minimi termini, quindi $ \displaystyle (p_2 - p_3) = h p_1 $ e $ \displaystyle (q_2 - q_3) = h q_1 $. Adesso sostituiamo questo in $ \displaystyle p_2 q_3 -p_3 q_2 = ± 1 $ e scopriamo che $ \displaystyle h = ± 1 $, che ci dà la tesi.

Pigkappa ha scritto:Per le simmetrie del problema (possiamo riordinare quanto ci pare) e per semplicità supponiamo che siano i primi due.

Il passaggio chiave stava in questo .

Quello è il passaggio più sporco... Anche se, in realtà, si poteva andare avanti portandosi dietro un ± e non sarebbe cambiato nulla.
Secondo me era più importante vedere che $ \displaystyle MCD(p_1,q_1) =1 $ e poi nello sbarazzarsi di $ \displaystyle h $...

io ho fatto con Cramer (faceva tanto figo )...
Si nota che quei tre aggeggi posssono essere scritti come matrici (Dx, Dy, D)caratterizzanti di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite (basta sottrarre le equazioni per ottenere le relazioni cercate).
Per tale sistema si ha x=+o-1 y=+o-1: per i tre diversi casi si ottengono 3 riordinamenti diversi di p1=p2+p3.

Senza Latex mi sa che nn si capisce niente ... l'idea era buona ?

Sai che anch'io avevo pensato ad una cosa del genere? Poi ho lasciato perdere visto che dimestichezza con vettori e algebra lineare ne avevo (e ne ho tuttora) molto poca .

Neanch'io naturalmente ... l'importante è fare finta!

Pigkappa ha scritto:$ \displaystyle (p_2 - p_3) = h p_1 $ e $ \displaystyle (q_2 - q_3) = h q_1 $. Adesso sostituiamo questo in $ \displaystyle p_2 q_3 -p_3 q_2 = ± 1 $ e scopriamo che $ \displaystyle h = ± 1 $, che ci dà la tesi.

Potresti spiegarmi i passaggi che hai fatto qui? Come hai ricavato che $ \displaystyle h = ± 1 $?

$ p_2q_3-p_3q_2=(p_3+hp_1)q_3-p_3(hq_1+q_3)=h(p_1q_3-p_3q_1) $
p.s. come si scrive più o meno?

exodd ha scritto:p.s. come si scrive più o meno?

$ $\pm$ $