...un problema piccolo piccolo

[sergio_vanni]

Definire l\'insieme dei numeri naturali x e y che soddisfano la condizione:
<BR>1 + x^3 = y^2
<BR>buone vacanze <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [addsig]

[Kornholio]

x^3 = (y-1)(y+1)
<BR>
<BR>poniamo (y-1)=z
<BR>
<BR>x^3 = z (z+2)
<BR>_____________________________________
<BR>caso 1 : z pari
<BR>z= 2t
<BR>
<BR>x^3 = 4t(t+1)
<BR>esclusi i casi (t=0, x=0) (t=1, x=2)
<BR>possiamo affermare tranquillamente che
<BR>t e (t+1) sono primi fra loro, e che
<BR>4|(x^3), ovvero che x è pari.
<BR>Dunque x=2w
<BR>
<BR>2w^3 = t(t+1)
<BR>
<BR>se w dispari (2 , w^3) primi tra loro,
<BR>nessuna altra soluzione apparte t=1 già esclusa
<BR>
<BR>se w pari w=2j
<BR>
<BR>16 j^3 = t(t+1)
<BR>il ragionamento si reitera all\'infinito senza però
<BR>mai dare soluzioni a parte quella banale.
<BR>______________________________________
<BR>Caso 2 : z dispari
<BR>z=2t-1
<BR>(z, (z+2)) primi fra loro
<BR>x=2w+1
<BR>
<BR>8w^3+12w^2+6w+1 = 4t^2 - 1
<BR>4w^3+6w^2+3w+1 = 2t^2
<BR>
<BR>w dispari e procedimento (anche questo)
<BR>reiterabile all\'infinito senza ottenere soluzioni
<BR>diversa da quella banale.
<BR>______________________________________
<BR>
<BR>Uniche soluzioni in N[0] :
<BR>[x=2 ; y=3]