Equazione con coseno

[fede90]

Trovare tutte le coppie di numeri reali (x;y) che verificano l'equazione

$ $2\cos(x+y)=\pi^{x-y}+\pi^{y-x}$ $

Un (vago) aiuto:

Questo problema sfrutta la stessa proprietà che sfrutta il problema proposto poco fa da Haile (disuguaglianza con log)

EDIT: corretto il testo, l'esponente del secondo pigreco è y-x non x+y (ecco perchè nessuno lo risolveva )

[fede90]

Up!

[julio14]

edit: qua un tempo c'era una soluzione... ma forse è meglio lasciare ancora un po' di tempo

[SkZ]

direi per i meno esperti (gli altri penso non si divertano abbastanza), ma e' molto carino e istruttivo.

[julio14]

non so se considerarmi della categoria... e poi è tutto TeX, non si può neanche imbiancare! uffi vabbè la tolgo

[fede90]

Beh insomma, è passata una settimana, e ancora nessuno (nè esperti ne non-esperti) ha postato la soluzione... Su, qualcuno la posti!

[Stex19]

Beh insomma, è passata una settimana, e ancora nessuno (nè esperti ne non-esperti) ha postato la soluzione... Su, qualcuno la posti!

io ho fatto qualcosa ma non sono assolutamente sicuro che sia giusto....

$ 2\cos(x+y) $ è compreso tra -2 e 2
$ \pi^{(x-y)}+ \pi^{(y-x)}} $ è sicuramente positivo, essendo $ \pi $ positivo.
poniamolo quindi minore o uguale a 2 e riscriviamolo come $ $\frac{\pi^x}{\pi^y}+ \frac{\pi^y}{\pi^x}<2 $

$ $ \frac{\pi^{2x}+ \pi^{2y}}{\pi^{xy}}-2<0 $
$ $ \pi^{2x}+ \pi^{2y}+2 \pi^x \pi^y=(\pi^x+ \pi^y)^2<0 $

quindi l'equazione non ha soluzioni in R


p.s. come si fa il minore o uguale in latex??

[fede90]

p.s. come si fa il minore o uguale in latex??

Codice: Seleziona tutto

$a\leq b$

$ $a\leq b$ $

Codice: Seleziona tutto

$a\geq b$

$ $a\geq b$ $

Comunque la tua soluzione non è corretta...intanto nell'ultimo passaggio hai sbagliato un segno, e poi se $ $a^2\leq 0\Rightarrow a=0$ $...

[Stex19]

p.s. come si fa il minore o uguale in latex??

Codice: Seleziona tutto

$a\leq b$

$ $a\leq b$ $

Codice: Seleziona tutto

$a\geq b$

$ $a\geq b$ $

Comunque la tua soluzione non è corretta...intanto nell'ultimo passaggio hai sbagliato un segno, e poi se $ $a^2\leq 0\Rightarrow a=0$ $...

è vero....
veniva $ $ (\pi^x- \pi^y) \leq 0 $
che ha soluzione sole se $ x=y $

inoltre per avere $ 2 \cos(x+y)=2 $
$ x+y $ deve essere della forma $ 2k \pi $
quindi la soluzione è $ x=y=k \pi $ con K intero

ora va bene?

[fede90]

Yep!