OliForum Matematico

Altre definizioni: (sia $ (A,\le) $ un insieme ordinato...)
un elemento a è minimale se $ b \le a \Rightarrow b=a $ (ovvero, non posso scendere sotto a)
un elemento a è minimo se $ b \ge a $ per ogni $ b \in A $.
un ordine è buono se ogni sottoinsieme non vuoto ha un minimo.
un ordine è ben fondato se ogni sottocatena non vuota ha un minimo.

Per assicurarvi che avete capito le definizioni, potete: (ci vuole un attimo)
- enunciare le definizioni di massimale e massimo
- dimostrare che ogni minimo è minimale
- il minimo, se esiste, è unico
- quanti elementi deve avere al minimo A per contenere un elemento minimale ma non minimo? Fare un esempio.
- dimostrare che ogni ordine buono è totale
- dimostrare che un ordine è ben fondato se e soltanto se non esiste una funzione crescente dall'insieme degli interi negativi al nostro insieme ordinato.

E ora il problema serio di questo post:
Sia A un sottoinsieme ben ordinato dei reali positivi.
Sia A' l'insieme dei reali esprimibili come somme di elementi (non necessariamente distinti) di A.
Dimostrare che anche A' è ben ordinato.

Sì lo so che vi ho annoiato con un sacco di definizioni inutili che non centrano neanche col problema... comunque, up

Mi è stato chiesto via email un suggerimento... visto che un suggerimento preciso non saprei darlo, butto un po' di idee vaghe che potrebbero portare alla soluzione.

Abbiamo una successione decrescente di somme di elementi. Vorremmo arrivare a una successione decrescente di elementi. Come? Magari "rinstriminzendo" in modo opportuno la successione originaria. Tipo, togliendo un addendo a ciascun elemento della successione in modo che resti ancora decrescente. Oppure considerando una sottosuccessione, e togliere addendi da questa sottosuccessione.
Come deve essere la successione di addendi da togliere, per essere sicuri che la successione di somme che rimane sia ancora decrescente? Deve essere .... ed è veramente difficile ottenere una successione così, oppure no?