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(i) Determinare la più piccola costante a tale che
6x^2 + y^2 + a >= 4xy + y
per ogni x ed y interi.

(ii) Per tale valore di a determinare le coppie (x,y) di numeri reali per cui si ha l'uguaglianza.

(iii) Per tale valore di a determinare le coppie (x,y) di interi per cui si ha l'uguaglianza.

Provo con questa soluzione. l'equazione proposta può essere portata in questa forma:

$ 6x^2+y^2-4xy-y+a =>0 $

La curva rappresenta un ellisse. Con un poco di conti, qualche traslazione e una rotazione ottengo:

$ (x+1/2)^2+6y^2=1/4-a $

Da cui $ 1/4-a>0 $ ed allora $ a=1/4 $ è la costante "più piccola" che soddisfa l'equazione. Tutte le soluzioni sono all'interno dell'ellisse.

Se pongo $ a=1/4 $

$ (x+1/2)^2+6y^2=0 $

Che non ha soluzioni intere. Mentre ha soluzioni reali $ (x,y)=(-1/2,0) $