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Un dado perfettamente bilanciato con facce numerate da 1 a 6 viene lanciato più volte.
a) Qual è la probabilità che lanciandolo 3 volte la somma dei punteggi sia divisibile per 6?
b) Qual è la probabilità che lanciandolo 3 volte la somma dei punteggi ottenuti sia divisibile per 7?
c) Qual è la probabilità che lanciandolo $ n $ volte la somma dei punteggi sia divisibile per 6?
d) Qual è la probabilità che lanciandolo $ n $ volte la somma dei punteggi sia divisibile per 7?

Quello che mi interessa capire di più è come fare a contare i multipli di 6 o di 7 su $ n $ lanci.

Comunque finiscano i primi due lanci, ti ritroverai con un numero n = k (mod 6) con k compreso tra 0 e 5.
Affinchè aggiungengo a quel numero un numero compreso tra 1 e 6 il tuo risultato sia divisibile per 6, hai esattamente 1/6 di possibilità qualsiasi sia il numero con cui ti sei trovato.

La risposta alla a) ed alla c) dovrebbe essere quindi 1/6

Per la domanda b:

La massima somma che può uscire tirando 3 dadi è 18, quindi le somme favorevoli sono solo 7 e 14

Per somma 7:
1 + 1 + 5
1 + 2 + 4
1 + 3 + 3
2 + 2 + 3
In totale 3 + 6 + 3 + 3 = 15 casi

Per somma 14:
6 + 6 + 2
6 + 5 + 3
6 + 4 + 4
5 + 5 + 4
In totale 3 + 6 + 3 + 3 = 15 casi

La probabilità è quindi di 30/216 = 5/36

Gatto ha scritto:Comunque finiscano i primi due lanci, ti ritroverai con un numero n = k (mod 6) con k compreso tra 0 e 5.

Questa parte l'ho capita ma... mi chiedo: dopo due lanci la probabilità che la somma sia x piuttosto che y è sempre la stessa?

Ad esempio, la probabilità che la somma sia 2 è inferiore a quella che la somma sia 7. Questa cosa influisce sul calcolo della probabilità che il terzo lancia dia un numero divisibile per 6?

Con qualsiasi numero ti ritrovi al penultimo lancio (che è il totale dei casi possibili), avrai sempre 1/6 di probabilità che l'ultimo numero che esca sia quello che ti serve.

Rispondendo al tuo esempio:
Se ti esce 2, ti serve necessariamente un 4 e quindi hai 1/6 di probabilità favorevole.
Se ti esce 7, ti serve necessariamente un 5 e quindi hai 1/6 di probabilità favorevole.

Similmente per gli altri

Proviamo la d):

Chiamiamo P(n) la probabilità che esca un numero multiplo di 7 dopo n lanci.

Il 1° lancio non sarà mai multiplo di 7. $ P(1) = 0 $

Per il 2°secondo lancio hai, qualsiasi numero sia uscito nel primo, un numero "complementare" che dia come somma 7 su sei numeri possibili. $ P(2) = 1/6 $

Esaminiamo ora il 3° lancio: se il numero uscito nel secondo era 7, la cui probabilità era 1/6, P(3) = 0. Se non era 7, la probabilità sarà 1/6 dei casi possibili.
Quindi $ P(3) = 5/6 1/6 = 5/36. $

Per il 4° lancio ragionando similmente si avrà:
$ P(4) = 31/36 \cdot 1/6 = 31/216 $

Abbiamo quindi $ P(n) = 1/6\cdot(1 - P(n-1)) $

Mi mancano ancora un paio di passaggi però per finire mi sa...

per rispondere ad Haile, se si vuole essere prolissi, se fai un controllo di come si distribuiscono i casi modulo 6, noti che tutti hanno probabilita' 1/6.
1 mod 6 (il 7) ha 6 casi
2 mod 6 (2 piu' 8 ) ha 1+5=6 casi
...

SkZ ha scritto:per rispondere ad Haile, se si vuole essere prolissi, se fai un controllo di come si distribuiscono i casi modulo 6, noti che tutti hanno probabilita' 1/6.
1 mod 6 (il 7) ha 6 casi
2 mod 6 (2 piu' ha 1+5=6 casi
...

Ah, ecco.

Ok, grazie a gatto e a SkZ per la spiegazione

da un punto di vist e' anche logico.
Un dado da 6 copre tutti i 6 casi diversi modulo 6 (ergo la loro probabilita' e' uniforme). Aggiungendo un altro dado da 6 devo per forza aumentare uniformemente tutti i casi modulo6, dato che non ho casi preferenziali.