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Ho il seguente problema,

Ho delle palline, divise in due sacchetti, nel primo ce ne sono il 30% e sono rosse, nel secondo ce ne sono il 70% e sono blu. Tra quelle rosse, il 3% ha un puntino bianco, mentre tra quelle blu il 5% ha un puntino bianco.

Ora, estraendo cinque palline dal sacchetto contente quelle rosse, quale è la probabilità di estrarne esattamente una con un puntino bianco?

La prima cosa che avevo fatto è disegnare una diagramma ad albero per capire bene la divisione. Fatto questo, pensavo che la probabilità che devo calcolare potesse essere

$ 1/5 * 3/100 + 4/5 * 97/100 $

però mi sa che sbaglio qualcosa, potreste aiutarmi? grazie

Le palline blu non ci interessano.

Pensiamo alle palline rosse: i casi favorevoli sono quando si presenta esattamente una pallina biancorossa e quattro palline rosse.

Chiamiamo B la pallina biancorossa e R la pallina rossa.

Lo schema deve essere quindi del tipo BRRRR con una probabilità quindi di $ \displaystyle\frac{3}{100}\cdot(\frac{97}{100})^4 $

Ora però la tua pallina biancorossa può disporsi in una qualunque delle 5 estrazioni, quindi devi moltiplicare il risultato finale per 5 (in quanto hai 5 possibili disposizioni: BRRRR, RBRRR, RRBRR, RRRBR, RRRRB).

Il risultato finale è quindi di $ \displaystyle5\cdot\frac{3}{100}\cdot(\frac{97}{100})^4 $

Ma non si dovrebbe usre la distribuzione binomiale in questo caso?
Scusatemi l'ignoranza e la domanda...

Beh il modo in cui puoi disporre un oggetto in n posti è $ \displaystyle \binom{n}{1}=n $, quindi nel nostro caso particolare $ \displaystyle \binom{5}{1}=5 $, che è il numero per cui si moltiplica alla fine .