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Dati tre vettori giacenti in un piano, può succedere che non sia possibile rappresentarne uno come combinazione lineare degli altri due?

Tu che dici?

Ho trovato un pdf molto chiaro: è sempre possibile rappresentarlo come combinazione lineare degli altri due

Beh, se tu scegli male i due vettori con cui vuoi rappresentare l'altro, la risposta è no.

In particolare, se scegli due vettori allineati le loro combinazioni lineari sono sempre e solo vettori allineati con loro.

EvaristeG ha scritto:Beh, se tu scegli male i due vettori con cui vuoi rappresentare l'altro, la risposta è no.

In particolare, se scegli due vettori allineati le loro combinazioni lineari sono sempre e solo vettori allineati con loro.

Sì, giusto, l'avevo pensato.
Diciamo che è sempre possibile se i tre vettori dati sono a due a due linearmente indipendenti, oppure se appartengono tutti e tre alla stessa retta, giusto? Se, invece, due appartengono alla stessa retta e il terzo no, è impossibile.

Visto che i tre vettori sono dati, la risposta in generale è no, quindi Detto cavolate?

Dati n vettori linearmente indipendenti in uno spazio a n dimensioni, questi costituiscono una base di quello spazio, cioè attraverso una combinazione lineare di quei vettori è possibile ottenere qualunque vettore di quello spazio.
Perciò in uno spazio bidimensionale, se hai due vettori indipendenti, cioè tali che non si può esprimere un vettore attraverso una combinazione dell'altro, puoi esprimere qualunque altro vettore a 2 dimensioni con una loro combinazione.
Se ci pensi, quando hai 2 vettori allineati, uno dei due lo puoi esprimere moltiplicando l'altro per un opportuno fattore, dunque non sono indipendenti tra loro e non costituiscono una base di quello spazio.
Perciò in generale la risposta è no, perchè in uno spazio a 2 dimensioni la base è costituita di 2 vettori, perciò uno dei tre è sicuramente una combinazione lineare degli altri due.

Spero di essere stato chiaro e non aver scritto fesserie...

Davide90 ha scritto:Dati n vettori linearmente indipendenti in uno spazio a n dimensioni, questi costituiscono una base di quello spazio, cioè attraverso una combinazione lineare di quei vettori è possibile ottenere qualunque vettore di quello spazio.
Perciò in uno spazio bidimensionale, se hai due vettori indipendenti, cioè tali che non si può esprimere un vettore attraverso una combinazione dell'altro, puoi esprimere qualunque altro vettore a 2 dimensioni con una loro combinazione.
Se ci pensi, quando hai 2 vettori allineati, uno dei due lo puoi esprimere moltiplicando l'altro per un opportuno fattore, dunque non sono indipendenti tra loro e non costituiscono una base di quello spazio.
Perciò in generale la risposta è no, perchè in uno spazio a 2 dimensioni la base è costituita di 2 vettori, perciò uno dei tre è sicuramente una combinazione lineare degli altri due.

Spero di essere stato chiaro e non aver scritto fesserie...

oltre ad essere l.i. devono essere anche dei generatori

scusate ho detto una cavolata perchè se si conosce la dimensione il fatto che siano l.i. o generatori sono condizioni sufficienti