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Dimostrare che ogni numero della forma

$ 3^{2n}-2^n $

con n naturale, è multiplo di 7.

Buon Lavoro!

Le potenze pari di 7 sono congrue a 1,2 o 4 in modulo 7. Precisamente,
se $ n\equiv 0 \pmod 3 $ allora $ 3^{2n}\equiv 1 \pmod 7 $;
se $ n\equiv 1 \pmod 3 $ allora $ 3^{2n}\equiv 2 \pmod 7 $;
se $ n\equiv 2 \pmod 3 $ allora $ 3^{2n}\equiv 4 \pmod 7 $.
Le potenze di 2 sono congrue solo a 2,4,1 in modulo 7 e si ripetono lo stesso ogni 3. Nel primo caso si avrà $ 2^n\equiv 1\pmod 7 $, nel secondo caso $ 2^n\equiv 2\pmod 7 $, e nel terzo infine $ 2^n\equiv 4\pmod 7 $. In tutti i casi quindi il primo membro è $ \equiv 0\pmod 7 $ e perciò la tesi è dimostrata.

$ $3^{2n}=(3^2)^n=9^n \equiv2^n \pmod 7$ $
non è più semplice così?

Certo

Volendo si può risolvere anche per induzione... Provateci se volete!

Fedecart ha scritto:Volendo si può risolvere anche per induzione... Provateci se volete!

ok ci provo perchè non uso spessissimo l'induzione:

sia $ P(n)=3^{2n}-2^n $

$ P(1)=3^2-2=7 $ e quindi ovviamente è vero
considero $ P(n) $ vero

provo che lo è anche $ P(n+1) $:
il testo diventa:

$ 3^2{n+1)-2^{n+1} $
ciò significa che deve essere $ 3^{2n} \cdot 3^2 \equiv 2^n \cdot 2 $ $ (mod{7}) $

ma si può notare che da entrambe le parti della congruenza si è moltiplicato a $ 3^{2n} $ e a $ 2^n $ (che per ipotesi induttiva sono congrui modulo 7) rispettivamente per $ 3^2 $ e $ 2 $ che a loro volta sono congrui modulo 7

quindi è vero anche $ P(n+1) $

ditemi se è giusta

Sì, direi che vada bene così...