OliForum Matematico

Consideriamo il seguente sistema ricorsivo, conoscendo i valori $ \displaystyle x_0 $ e $ \displaystyle y_0 $ tali che $ \displaystyle 0 < x_0 < y_0 $.

$ \displaystyle x_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} $
$ \displaystyle y_{n+1} = \sqrt{x_{n+1} y_n} $

Calcolare $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n $ e $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n $



Commento 1)Se lo conoscete già (cosa probabile), aspettate qualche giorno per postare la soluzione.

Commento 2)Se lo risolvete in poco tempo, la soluzione postatela in bianco, così da dare il tempo a chi torna dal senior di leggere il problema e provarci, se vuole.

Commento 3)Secondo me, non è facile.

Innanzittto, il fatto che convergano (ed allo stesso limite) è ovvio perchè sono monotone e limitate a vicenda ed il risultato dovrebbe essere \frac{\sqrt{y0^2-x0^2}}{arccos(x0/y0)}}.
Dimostrazione:

Lemma: produttoria per i che va da 1 a infinito di Cos(x*2^(-i)) dà Sin(x)/x.
Dimostrazione: sin(x)/x=sin(x/2)cos(x/2)/(x/2)=sin(x/4)cos(x/4)cos(x/2)/(x/4)=...
Il seno di angoli sempre più piccoli fratto il suo argomento tende a 1, c.v.d.

Giochicchiando un po' con l'algebra delle due relazioni si riesce a scrivere una relazione che coinvolge solo y: y_{n+1}/y_n=\sqrt{1/2} \sqrt{1+y_n/y_{n-1}}.
Introducendo i rapporti r_n=y_n/y_{n-1} questa si scrive r_{n+1}=\sqrt{\frac{1+r_n}{2}}. Questa è la formula di bisezione del coseno! Quindi una volta definito r_1 (che è banale da trovare) gli altri si scrivono come r_n=cos(x*2^-n) per un certo x.
Dato che y_n è y_0 per la produttoria di tutti i rapportini fino ad n, quando n tende ad infinito otteniamo la produttoria che sappiamo sbrogliare con il lemma. Tutto il resto sono conti.



Fra l'altro, bel problema non fosse per il risultato

Be, dopo aver fatto gli altri esercizi prima, si capiva la strada..
ma postarlo cosi come esercizio a chi non ha mai visto credo sia un po difficile, a mio tempo comunque ci misi piu di due ore per trovare quegli esponenti maledetti..
(ps complimenti a darkrystal la mia soluzione era di solo conti..)
@darkrystal, niente, ora che controllo sull'engel era proprio l'esercizio svolto questo, mi confondevo con uno simile che adesso posto come rilancio..

Mi sa che mi sono perso qualcosa... quali "altri" esercizi?

Rilancio: siano $ 0<b<a $ due numeri reali.
Generiamo la seguente successione:
$ x_0=a $
$ y_0=b $
$ x_{n+1}=\frac{2x_ny_n}{x_n+y_n} $
$ y_{n+1}=\frac{2x_{n+1}y_n}{x_{n+1}y_n} $.

Trovare il limite di convergenza di $ \{x_n\} \text{ e } \{y_n\} $.

darkcrystal ha scritto:Mi sa che mi sono perso qualcosa... quali "altri" esercizi?

Questo era un esempio delle prime pagine dell'Engel, l'ho visto lì mentre stavo cercando problemini facili che potrebbero chiedere all'orale...