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Sapendo che $ p $ è primo trovare tutte le soluzioni intere di $ (x-y)^2-p(x+y)+p^2=0 $.


[Ps. Fino a qualche oretta fa era il terzo problema della gara del 20 settembre.. ]

Orbene...

$ (x-y)^2-p(x+y)=-p^2 $

Da cui di certo:
$ p|(x-y)^2 $
ma per la primalità di p
$ p|(x-y) $
allora:
$ p^2|(x-y)^2 $
e quindi:
$ p|(x+y) $

Dovremmo avere necessariamente:
$ x=y(p) $
$ x=-y(p) $
contemporaneamente.

$ 2x=0(p) $
Allora ho soluzione se p=2.

$ (x-y)^2-2(x+y)+p^2=(x-y)^2-2(x-y)-4y+4= $
$ =(x-y-2)^2 - 4y $

l'equazione iniziale diventa:
$ (x-y-2)^2 = 4y $

deve essere un quadrato $ y=t^2 $,ma allora ho:
$ (x-t^2-2)^2=4t^2 $
ovvero (se $ x-y-2>0 $):

$ x-t^2-2=2t $
$ x=(t+1)^2+1 $

Se invece $ x-y-2<0>0 $(ovvero $ x-y-2>0 $).

Stradh ha scritto:
$ 2x=0(p) $
Allora ho soluzione se p=2.

scusa, ma se x è multiplo di p non può essere che p sia diverso da 2?

Dalla equazione:
$ 2x=0(p) $

la soluzione si può trovare anche se:
$ x=0(p) $
Ovvero
$ y=0(p) $

Siano allora:
$ x=sp $
$ y=kp $

L'equazione diventa:
$ (sp-kp)^2-p(sp+kp)+p^2=0 $
dividendo tutto per $ p^2 $:
$ (s-k)^2-(s+k)+1=0 $
$ (s-k)^2-2(s-k)+1+s-3k=0 $
$ (s-k-1)^2=3k-s $

Sia:
$ 3k-s=t^2 $

con $ s-k-1>0 $:
$ s-k-1=t $
$ s=t+k+1 $
sostituendolo:
$ k=1/4(t^2-t-1) $
$ s=1/4(t^2+3t+3) $

In questo caso però deve essere $ 4|t^2-t-1 $ e $ 4|t^2+3t+3 $

Sostituiamo:
[conti vari]:$ t^2-5t+3=0 $ che non ha soluzioni intere.

con $ s-k-1<0 $:
$ -s+k+1=t $
$ s=-t+k+1 $
sostituendolo:
$ k=1/2(t^2-t+1) $
$ s=1/2(t^2-3t+3) $

Come prima però deve essere $ 2|t^2-t-1 $ e $ 2|t^2+3t+3 $

Sostituiamo:
[conti vari]:$ t=2 $ che però fa fallire la divisibilità di cui sopra.

Le uniche soluzioni possibili (a meno di miei errori, o orrori) sono quelle del post precedente.

bestiedda ha scritto:

Stradh ha scritto:
$ 2x=0(p) $
Allora ho soluzione se p=2.

scusa, ma se x è multiplo di p non può essere che p sia diverso da 2?

Certo, ma mentre tu mi scrivevi io stavo dividendo il post in due

Io l'ho fatto diversamente...
Riscrivo l'equazione:
$ (x-y)^2=p(x+y-p) $
Quindi $ (x+y-p) $ deve essere della forma $ a^2\cdot p $ cioè $ x+y=p(a^2+1) $. Sostituisco nell'equazione di partenza:
$ (x-y)^2-p^2(a^2+1)+p^2=0 $ cioè
$ (x-y)^2=a^2p^2\Rightarrow (x-y)=ap $.
Sappiamo quindi che $ x+y=p(a^2+1) $ e che $ x-y=ap $. Sottraendo questa seconda equazione dalla prima si ottiene
$ 2y=p(a^2+1-a) $
Da ciò si vede che almeno uno fra $ p $ e $ a^2+1-a $ deve essere pari, ma la seconda espressione è sempre dispari, perciò p necessariamente è pari, cioè vale 2.

String ha scritto:Io l'ho fatto diversamente...
Riscrivo l'equazione:
$ (x-y)^2=p(x+y-p) $
Quindi $ (x+y-p) $ deve essere della forma $ a^2\cdot p $

potresti spiegare come passi da una cosa all altra

Poichè il primo membro di quell'equazione è un quadrato, lo deve essere anche il secondo, quindi se pongo $ x+y-p=a^2p $ questa condizione è soddisfatta, perchè $ p(x+y-p)=p(a^2p)=a^2p^2 $