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Alberto fa il seguente gioco (da solo, finalmente!).

Alberto ha $ \displaystyle N > 0 $ carte in mano. Ad ogni turno, pesca una carta con probabilità $ \displaystyle \lambda $ o ne scarta una con probabilità $ \displaystyle 1 - \lambda $. Se rimane con 0 carte ha vinto, altrimenti continua a giocare. Supponiamo che le carte siano infinite e che Alberto non possa morire di vecchiaia nè di noia.

1)Determinare la probabilità che il gioco finisca nel caso $ \displaystyle \lambda \geq \frac{1}{2} $.
2)Determinare la probabilità che il gioco finisca nel caso $ \displaystyle \lambda < \frac{1}{2} $.



Me lo sono inventato pensando a un modello per stabilire se le partite di Dernier fossero necessariamente finite oppure no. Per ora ho risolto solo la prima domanda. Le simulazioni al computer mi fanno pensare che la risposta alla seconda sia meno banale, ma non ci metterei la mano sul fuoco.

Up... Almeno la prima domanda provate a farla, è istruttiva e olimpica...

Dato che e' un po' abbandonato, a me la formula generale viene
$ $\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^m \binom{N-2+k}{N-2}(1-\lambda)^{N+k}\lambda^k $

posto $ ~n=N-2 $ e $ ~\xi=(1-\lambda)\lambda $, quindi $ $0\leq\xi\leq1/4 $

$ $\lim_{m\rightarrow\infty}(1-\lambda)^{N}\sum_{k=0}^m \binom{n+k}{n}\xi^k $ $ $=\lim_{m\rightarrow\infty}(1-\lambda)^{N}\sum_{k=0}^m \binom{n+k}{k}\xi^k $
che ricorda un po' la distribuzione binomiale

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