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Trovare tutti i $ k \in \mathbb{Z} $ tali che $ \forall n \in \mathbb{N} $ si abbia che $ 4n+1 $ e $ kn+1 $ non hanno divisori in comune.

Allora è ben evidente che $ (4n+1; kn+1)=(4n+1;(k-4)n) $ è altrettanto immediato notare che poichè $ ((4n+1),n)=1 $ allora $ (4n+1;(k-4)n)=(4n+1,(k-4)) $ ma ora si tratta di vedere che numeri primi p soddisfano $ 4n+1 \equiv 0 \pmod p $ beh sappiamo che per ogni primo p diverso da 2 $ (4,p)=1 $ ne segue che esiste l'inverso di 4 modulo p per ogni primo p diverso da 2.Ma dunque basta prendere l'opposto di tale inverso per avere la soluzione a $ 4n \equiv{-1} \pmod p $. Dunque abbiamo che $ k=2^j+4 $ ,per ogni j naturale oppure $ k=-2^j+4 $ per ogni j naturale sono le sole soluzioni possibili. The End...

Soluzione alternativa:
inizialmente procedo come Carlein, arrivando a dire che $ (4n+1,kn+1)=(4n+1,k-4)=1 $. Dobbiamo quindi trovare dei k tali che per ogni n si abbia che il MCD tra $ 4n+1 $ e $ k-4 $ sia sempre 1. I numeri della forma $ 4n+1 $, sono tutti i dispari $ \equiv 1 \pmod 4 $ , ma i dispari che non sono compresi sono quindi $ \equiv 3 \pmod 4 $ cioè in pratica moltiplicandoli per 3 sono anch'essi della forma $ 4n+1 $. In definitiva $ k-4 $ non può contenere nella fattorizzazione un numero dispari perchè ci sarà sempre un numero della forma $ 4n+1 $ che conterrà al suo interno quel dispari. Quindi $ k-4 $ può essere solo una potenza di 2, cioè $ k-4=2^j\Rightarrow k=2^j+4 $ oppure, se k è negativo $ -k-4=-2^j\Rightarrow -k=-2^j+4 $

Carlein ha scritto:Allora è ben evidente che $ (4n+1; kn+1)=(4n+1;(k-4)n) $
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Scusate ma non capisco questo passaggio... Qualcuno me lo potrebbe spiegare??

Dati due interi a e b, $ (a,b)=(a,b-a)=(a,b+a)=(a,b+ka) $. In questo caso, $ a=4n+1 $e $ b=kn+1 $. Dato che $ (a,b)=(a,b-a) $ abbiamo che $ (4n+1,kn+1)=(4n+1,(k-4)n) $

String ha scritto:Dati due interi a e b, $ (a,b)=(a,b-a)=(a,b+a)=(a,b+ka) $. In questo caso, $ a=4n+1 $e $ b=kn+1 $. Dato che $ (a,b)=(a,b-a) $ abbiamo che $ (4n+1,kn+1)=(4n+1,(k-4)n) $

Ok, grazie... Mi mancava questo pezzo..