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dimostrare che ogni intero è esprimibile nella forma $ $a^2+b^2-c^2 $ dove $ $a,b,c $ sono opportuni interi

Ogni intero dispari è esprimibile come sottrazione di quadrati, $ (n+1)^2=n^2+2n+1 $ da cui per ogni numero dispari $ 2n+1 $ abbiamo che $ 2n+1=(n+1)^2-n^2 $
ora chiamiamo $ (n+1)=a $ ed $ n^2=c $
Per i numeri dispari avremo $ b=0 $ per i pari $ b=1 $
La tesi è dimostrata

bestiedda ha scritto:dimostrare che ogni intero è esprimibile nella forma $ $a^2+b^2-c^2 $ dove $ $a,b,c $ sono opportuni interi

$ b^2-c^2=(b-c)(b+c) $
$ (b-c) $ e $ (b+c) $ sono entrambi o pari o dispari.
con la differenza di quadrati si può esprimere quindi ogni intero dispari o multiplo di 4.
mancano quindi solo i multipi di 2, che per farli basta prendere $ b^2-c^2 $ tale che sia congruo a 1 (mod4) e $ a=1 $

Si può fare anche per induzione o sbaglio?

elendil ha scritto:Si può fare anche per induzione o sbaglio?

forse, ed era la soluzione che mi interessava uscisse fuori di più