OliForum Matematico

Siano x e y due reali positivi.

Dimostrare che $ x^y+y^x>1 $

Buona fortuna...

ahhhhhhhh nooooo lei nooooo (è anche vero che forse sono l'unico che allegramente si faceva il dodecaedro di rubik mentre pifer&co sbattevano la testa su questo problema... ma vedervi farlo mi è bastato)

Cosa c'è di poco chiaro nella frase: andate a dormire ora?

Almeno era per una causa nobile, dai...

lol...

Più seriamente: è un problema simpatico e ha una soluzione carina...

[OT]

eli9o ha scritto:Cosa c'è di poco chiaro nella frase: andate a dormire ora?

Scusa Pietro se infesto il tuo post con messaggi inutili, prometto che sbatterò la testa sul problema almeno per dieci minuti prima di accorgermi che non lo so fare...

[/OT]

osservo solo che se x o y sono maggiori di uno, la diseguaglianza vale sempre perchè non esiste radice di un numero magiore o uguale a 1 tale che il risultato sia minore di 1

exodd ha scritto:osservo solo che se x o y sono maggiori di uno, la diseguaglianza vale sempre perchè non esiste radice di un numero magiore o uguale a 1 tale che il risultato sia minore di 1

Si è vero ma penso che il difficile sia proprio dimostrare questa disuguaglianza per $ $0 < x,y < 1$ $ !

Algebert ha scritto:questa disuguaglianza per $ $0 < x,y < 1$ $ !

Già che ci sei potevi anche metterci $ 0<x<y<1 $, tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti..

jordan ha scritto:Già che ci sei potevi anche metterci $ 0<x<y<1 $, tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti..

Giusto ! Anche perchè la disuguaglianza è omogenea, o sbaglio ?

jordan ha scritto:tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti..

....
quant'è?????
ho provato a ricavarmelo, ma non è derivabile e non abbiamo dati numerici per le disuguaglianze...
facendo il gravico noto che si avvicina stranamente a sen 45°...

$ x^x=e^{\ln{x^x}}=e^{x\cdot \ln{x}} $
La derivata si calcola facilmente e risulta essere $ e^{ln x^x}\cdot (\ln{x} +1)=x^x\cdot (\ln{x} +1) $ che si annulla quando $ x=\frac{1}{e} $

No Algebert, non è omogenea...

Comunque per chi volesse lascio un hint:

Visto che sembra comodo usare Bernoulli, come si può passare da cose reali a cose intere? Se x<1 c'è n tale che 1/n>x>=1/(n+1) e lo stesso vale per y....


(selezionare il testo per visualizzarlo)

Buona fortuna...

piever ha scritto:No Algebert, non è omogenea...

Giusto lo noto solo adesso . Altrimenti si semplificava troppo .
Comunque anche con quell'hint non riesco ad andare avanti ...

Bon, è passato abbastanza tempo:

L'unico caso difficile è x,y<1

sia n un intero positivo tale che $ \frac{1}{n}>x\ge\frac{1}{n+1} $ e m un intero positivo tale che $ \frac{1}{m}>y\ge\frac{1}{m+1} $

Ora chiaramente $ x^y+y^x>\sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}} $

Per Bernoulli abbiamo che $ (1+\frac{n}{m})^m\ge 1+n $, da cui $ 1+\frac{n}{m}\ge\sqrt[m]{1+n} $, da cui $ \sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}}\ge \frac{1}{1+\frac{n}{m}}+\frac{1}{1+\frac{m}{n}}=1 $

Non è piu tanto di origini incerte

French Mathmatical Olympiad, 1996