OliForum Matematico

Siano $ a,b,c $ tre numeri reali con somma 2.

(a) Mostrare che $ (\sum_{cyc}{a^2})(\sum_{cyc}{ab}) \le 2 $

(b) Trovare tutti i casi di uguaglianza


Posto questo esercizio solo per vedere se e quanto mi sono intrecciato la vita nel risolvere il (b)..poi posto anche la mia, ma non mi dite che basta la sostituzione che mi sparo

$ $ \left ( \sum_{cyc} a^2 \right ) \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \le 2 $
$ $ \left ( (a+b+c)^2 - 2(\sum_{cyc} ab) \right ) \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \le 2 $
$ $ \left ( (a+b+c)^2 - 2 \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \right ) \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \le 2 $
$ $ \left ( 4 - 2 \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \right ) \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \le 2 $
$ $ 2\left ( 2 - \sum_{cyc} ab \right ) \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \le 2 $
$ $ \left ( 2 - \sum_{cyc} ab \right ) \left ( \sum_{cyc} ab \right ) \le 1 $

Sia $ $ \sum_{cyc} ab = x $, diventa:

$ $ (2-x)x \le 1 \Rightarrow x^2 -2x + 1 \ge 0 \Rightarrow (x-1)^2 \ge 0 $

L'uguaglianza ho trovato quando $ $ (a,b,c) = (1,1,0) $ o ciclicamente.

Alex90 ha scritto:$ (x-1)^2 \ge 0 $

perfetto

Alex90 ha scritto:L'uguaglianza ho trovato quando $ $ (a,b,c) = (1,1,0) $ o ciclicamente.

Sono tutte?

jordan ha scritto:Sono tutte?

Io non ne ho trovate altre...tu?

guarda la mia soluzione è un po strana come ho già detto..prova un altro po(per questo lho postato)..

ad esempio guarda questa:
sia $ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $, allora $ (a,b,c)=(\frac{1}{2}, \frac{\phi^2}{2}, \frac{(1-\phi)^2}{2}).. $

Alex90 ha scritto:L'uguaglianza ho trovato quando $ $ (a,b,c) = (1,1,0)$ $ o ciclicamente.

Ma esattamente come lo dimostri?
Seguendo il tuo metodo (che è lo stesso che ho usato anch'io, anzi forse l'unico possibile per questa disuguaglianza) si arriva a trovare alla fine che l'uguaglianza si ha quando:

$ $\sum_{cycl}ab = 1$ $

da cui, unendolo alla precedente condizione, ricaviamo il sistema:

$ $\left \{ \begin{array}{l}a + b + c = 2 \\ ab + bc + ca = 1 \\ \end{array}\right$ $

che però è di difficile risoluzione algebrica (almeno per me ), e finisco per incartarmi proprio com'è successo a jordan. Qualcuno ha delle idee su come procedere?

P.S: se questo fosse un problema di Cesenatico o di ammissione alla Normale alla fine basta scrivere che le terne $ $(a,b,c)$ $ per cui si ha l'uguaglianza sono quelle che soddisfano le due condizioni trovate sopra, oppure devo trovare per tutte un'espressione analitica in funzione di un parametro altrimenti perderei punti?

Algebert ha scritto:ricaviamo il sistema:

$ $\left \{ \begin{array}{l}a + b + c = 2 \\ ab + bc + ca = 1 \\ \end{array}\right$ $

che però è di difficile risoluzione algebrica (almeno per me ), e finisco per incartarmi proprio com'è successo a jordan.

Esattamente, ma io non mi sono incantato, una soluzione ce l'ho..
Ad ogni modo, non credo proprio che a Cese o alla Normale darebbero un problema simile..

jordan ha scritto:ma io non mi sono incantato, una soluzione ce l'ho..

Io ho scritto "incartato", non "incantato" ...comunque, con tale termine non intendevo che non sei riuscito a risolverlo, volevo solo far notare che i conti alla fine sono stati (per me, ma da quello che hai scritto forse anche per te) noiosi e brutti . Se per questo una soluzione l'avrei trovata anch'io, ma è talmente orribile a scriversi che non posso credere che non ce ne sia una più semplice .

jordan ha scritto:Ad ogni modo, non credo proprio che a Cese o alla Normale darebbero un problema simile..

Metti il caso che venga dato; se il testo del problema è quello che hai postato, allora per non perdere punti basta che pongo le condizioni che la terna deve soddisfare, oppure devo trovare per forza un'espressione analitica che lega i tre numeri ad un parametro?
So che potrebbe sembrare una domanda stupida ma gradirei molto avere una risposta .

Algebert ha scritto: Metti il caso che venga dato; se il testo del problema è quello che hai postato, allora per non perdere punti basta che pongo le condizioni che la terna deve soddisfare, oppure devo trovare per forza un'espressione analitica che lega i tre numeri ad un parametro?

Se il testo fosse quello sarebbe in un certo senso mal posto.

Se "trovare" ha uno dei significati ovvi del tipo "elencare" (se ci sono finiti casi di uguaglianza), o al limite "elencare a meno di un fattore comune", il problema è chiaro, ma se la risposta non è una di queste si è nel dubbio.
Quindi un problema con questa domanda, non so come si potrebbe dire che la risposta "le soluzioni a questo sistema danno l'uguaglianza" sia sbagliata... insomma, una situazione del genere non dovrebbe capitare a Cesenatico. A Cesenatico potrebbero chiedere "dimostrare che ci sono infinite terne che soddisfano l'uguaglianza" (come alle IMO di quest'anno).

Sarebbe come chiedere di "contare" delle combinazioni la cui quantità si rappresenta, alla meglio, con una sommatoria...

Algebert ha scritto:

jordan ha scritto:ma io non mi sono incantato, una soluzione ce l'ho..

Io ho scritto "incartato", non "incantato"

Exscuse me Algebert

Algebert ha scritto:Se per questo una soluzione l'avrei trovata anch'io, ma è talmente brutta e orribile a scriversi che non posso credere che non ce ne sia una più semplice .

Posta pure, da Carrara qualcosa di buono esce sempre

Algebert ha scritto:Metti il caso che venga dato; se il testo del problema è quello che hai postato, allora per non perdere punti basta che pongo le condizioni che la terna deve soddisfare, oppure devo trovare per forza un'espressione analitica che lega i tre numeri ad un parametro?

Prima di tutto, considera che gli organizzatori prima di dare un problema a Cesenatico o SNS si assicurano sempre che esista una soluzione olimpica, o meglio, almeno una.. se poi avessero dato questo problema, arrivare a quel sistema significa che l'esercizio è già praticamente finito, se trovi anche le soluzioni in funzione di un parametro tanto di guadagnato, altrimenti dipende dalla griglia di valutazione dei correttori..

edit: edriv mi ha preceduto, grazie della risposta

jordan ha scritto:Posta pure, da Carrara qualcosa di buono esce sempre

Guarda, meglio di no . Tutto ciò che sono riuscito a cavarne fuori è nient'altro che la risoluzione brutale e contosa in funzione di $ $c$ $ (che ho posto uguale a $ $k - 2$ $ per comodità) del sistema ridotto alle sole incognite $ $a$ $ e $ $b$ $. Oltre ad essere veramente orribile da TeXare, è anche diseducativa .
Tu allora invece come hai fatto?

Io ho trovato queste soluzioni:
$ $\left(a, \frac{2-a\pm \sqrt{a(-3a+4)}}{2}, \frac{2-a\mp \sqrt{a(-3a+4)}}{2}\right)$ $, con $ $a \in [0, \frac{4}{3}]$ $.

Queste terne soddisfano le condizioni. Domani scrivo come le ho trovate (niente di chissacche`), sperando che siano tutte e sole le soluzioni.

Algebert ha scritto:Tu allora invece come hai fatto?

Ok posto la mia..
al posto dell'equazione $ \sum_{cyc}{ab}=1 $ ho messo una equivalente $ \sum_{cyc}{a^2}=2 $ a sistema con $ \sum_{cyc}{a}=2 $. Ma la prima è la sfera di raggio $ \sqrt{2} $ e centro $ O=(0,0,0) $ e la seconda è un piano inclinato di $ \frac{\pi}{4} $ rispetto agli assi passante per le tre intercette $ A=(2,0,0),B=(0,2,0),C=(0,0,2) $. Per mostrare che esiste una classe di soluzione è sufficiente verificare che la distanza per piano dal centro O della sfera sia minore del raggio della sfera stessa, e infatti si verifica che $ \frac{|0*1+0*1+0*1-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}<\sqrt{2} \leftrightarrow 2<\sqrt{6} $.
A questo punto si osserva che l'intersezione tra un piano e una sfera genera una circonferenza (che in questo caso giace sul piano stesso). Trovare il centro della circonferenza è facile in quanto per simmetria è il baricentro del triangolo ABC, cioè $ G(ABC)=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}) $. Una soluzione la conosciamo $ P=(1,1,0) $ per cui possiamo trovare il raggio $ r=\sqrt{\frac{2}{3}} $. Concludiamo quindi che tutte le soluzioni di tale sistema rappresentano la circonferenza sul piano $ a+b+c-2=0 $(parallela a una delle diagonali del sistema xyz) a intersezione tra la sfera di equazione $ \sum_{cyc}{(a-\frac{2}{3})^2}=\frac{2}{3} $ e il piano suddetto.
A questo punto uno direbbe, visto che la soluzione l'hai messa di nuovo a sistema non era meglio che la lasciavi com'era prima?be, primo ho trovato qual è il luogo geometrico, e secondo è possibile una forma parametrica di tale circonferenza in quanto ottenibile per affinità da quella goniometrica di parametri $ (\cos{x}, \sin{x}, 0) $.

Ve l'ho detto che la mia era un po anomala..

stefanos ha scritto:Io ho trovato queste soluzioni:
$ $\left(a, \frac{2-a\pm \sqrt{a(-3a+4)}}{2}, \frac{2-a\mp \sqrt{a(-3a+4)}}{2}\right)$ $, con $ $a \in [0, \frac{4}{3}]$ $.

Queste terne soddisfano le condizioni.

Esatto sono quelle che ho trovato anch'io . Almeno tu hai avuto la voglia di postarle !