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Se A è un insieme ordinato, un sottoinsieme B di A si dice cofinale se per ogni $ a \in A $ esiste $ b \in B $ tale che $ a \le b $. Praticamente, basta B per andare quanto avanti mi pare dentro A.

Domanda. È vero che ogni insieme ordinato ha una catena cofinale?




Ovviamente no, basta prendere un ordine con due elementi massimali distinti. Un insieme cofinale dovrà contenerli entrambi, ma questi non possono essere comparabili.
C'è una condizione che rende più plausibile la cosa.
A si dice insieme diretto se è ordinato in modo tale che, per ogni $ x,y \in A $, esiste un z tale che $ x \le z $ e $ y \le z $.

Domanda. È vero che ogni insieme diretto ha una catena cofinale?

Mah...allora
E' facile vedere che ogni elemento dell'insieme A deve avere un elemento che lo "maggiora", se non vogliamo avere subito una catena cofinale: ciò implica tra l'altro che se l'insieme è finito abbiamo concluso. Ora prendiamo un'elemento generico dell'insieme:a. Prendiamo tutti gli elementi che che maggiorano a(si intende cosa intendo per maggiorare spero) ottenuti applicando la definizione di insieme diretto mettendo a in coppia con tutti gli altri elementi dell'insieme; chiamiamo questo insieme $ X_a $ ora prendiamo un elemento di $ X_a $ che diciamo $ x_1 $ diverso da a ottenuto accoppiando a con un b(diverso da a) di A. Ora ripetiamo su $ x_1 $ l'operazione che abbiamo fatto su a generando così l'insieme $ X_{x_1} $. Ora da tale insieme prendiamo un elemento diverso da $ x_1 $ (il quale può a tutta regola comparire in questo insieme), che chiamiamo $ x_2 $ e che abbiamo ottenuto accoppiando $ x_1 $ con un generico c,ovviamente diverso da b e a di A. Ma ora ripetiamo l'operazione quante volte ci pare su $ x_2 $ e tutti quelli a venire, accoppiando sempre con un elemento nuovo e così accoppiando con tutti gli elementi di A,e tutti questi elementi vanno a formare una catena infinita che è anche un cofinale. allora il problema a mio avviso è davvero bello, il fatto che edriv l'ha messo così, in forma ambigua lo rende più intrigante...e io ho appena pensato questa cosa dopo essermi consumato a trovare un controesempio malato della tesi...dunque la posto anche questa senza essere sicuro di ciò che dico( ci penserò nel frattempo mentre anche voi la leggete),facendo una probabile figuraccia, così però da rianimare questo post...e magari a qualcuno viene davvero il metodo giusto in mente...che sarei davvero curiosissimo di vedere...
Ciao!
p.s:questa volta se dovesse essere giusta...magari la scrivo per davvero bene..
p.ps:mmm spero sia chiaro che intendo nell'ultima parte...dò per scontato un paio di cose...però mi sembra sia legittimo quel che dico che così è una catena(manifestamente leggittimo)...e che è un cofinale(leggermente manifesto...ma specificando giusto un paio di pignolerie...pure questa diventa una cosa manifestamente leggittima,sennò mi sa che l'errore stia proprio qu:work in progress )

Carlein ha scritto:Mah...allora
E' facile vedere che ogni elemento dell'insieme A deve avere un elemento che lo "maggiora", se non vogliamo avere subito una catena cofinale: ciò implica tra l'altro che se l'insieme è finito abbiamo concluso. Ora prendiamo un'elemento generico dell'insieme:a. Prendiamo tutti gli elementi che che maggiorano a(si intende cosa intendo per maggiorare spero) ottenuti applicando la definizione di insieme diretto mettendo a in coppia con tutti gli altri elementi dell'insieme; chiamiamo questo insieme $ X_a $ ora prendiamo un elemento di $ X_a $ che diciamo $ x_1 $ diverso da a ottenuto accoppiando a con un b(diverso da a) di A. Ora ripetiamo su $ x_1 $ l'operazione che abbiamo fatto su a generando così l'insieme $ X_{x_1} $. Ora da tale insieme prendiamo un elemento diverso da $ x_1 $ (il quale può a tutta regola comparire in questo insieme), che chiamiamo $ x_2 $ e che abbiamo ottenuto accoppiando $ x_1 $ con un generico c,ovviamente diverso da b e a di A. Ma ora ripetiamo l'operazione quante volte ci pare su $ x_2 $ e tutti quelli a venire, accoppiando sempre con un elemento nuovo e così accoppiando con tutti gli elementi di A,e tutti questi elementi vanno a formare una catena infinita che è anche un cofinale. allora il problema a mio avviso è davvero bello, il fatto che edriv l'ha messo così, in forma ambigua lo rende più intrigante...e io ho appena pensato questa cosa dopo essermi consumato a trovare un controesempio malato della tesi... dunque la posto anche questa senza essere sicuro di ciò che dico( ci penserò nel frattempo mentre anche voi la leggete),facendo una probabile figuraccia, così però da rianimare questo post...e magari a qualcuno viene davvero il metodo giusto in mente...che sarei davvero curiosissimo di vedere...
Ciao!
p.s:questa volta se dovesse essere giusta...magari la scrivo per davvero bene..
p.ps:mmm spero sia chiaro che intendo nell'ultima parte...dò per scontato un paio di cose...però mi sembra sia legittimo quel che dico che così è una catena(manifestamente leggittimo)...e che è un cofinale(leggermente manifesto...ma specificando giusto un paio di pignolerie...pure questa diventa una cosa manifestamente leggittima,sennò mi sa che l'errore stia proprio qu:work in progress )

... era meglio pensarci ancora un po'

Però non è che hai cannato il problema... anzi, hai fatto il primo passo per il controesempio: dimostrare che deve avere una certa strana proprietà.

Ah ok...io dopo un pò mi ero persuaso di avere davvero finito....devo ancora capire cosa ho dato per scontato costruendo il mio generico insieme, ovvero quale restrizione ho subdolamente fatto al mio generico insieme infinito avendo dimostrato tale proprietà per tale restrizione...e quindi eliminando tale restrizione posso andarmi a cercare il mio insieme malato(di cui tu c'hai confessato l'esistenza)....bon, ora ci provo

In maniera piuttosto inconsapevole ho molto più o meno provato questo ieri :
Se $ A $ è numerabile e a ordine diretto, allora esiste una catena cofinale.
Dimostriamo questa cosa.
Osservazione: Ogni elemento a di $ A $ deve avere un elemento b di $ A $ tale che $ b>a $. Supponiamo che non è così: esiste dunque un a massimale. Ma ricordando che per ogni b di $ A $ esisterà un x tale che $ x>a $ e $ x>b $ si ha per per quanto supposto che $ a>b $ per ogni b di $ A $: dunque a è massimo. Ma se prendiamo l'insieme costituito dalla sola a esso sarà una catena, e sarà anche un cofinale. Dunque se esiste un a siffatto avremo già concluso: ci resta da vedere quando non esiste nessun a siffatto.
Abbiamo dunque che ogni elemento di $ A $ ha almeno un elemento di $ A $ che lo maggiora(b maggiora a significa che $ b>a $). Inoltre sappiamo che A è numerabile dunque $ A=(a_1,a_2......a_n....) $.Ora accoppiamo $ a_1 $ con il primo elemento $ a_j $ di a per cui non valga $ a_1>a_j $: applichiamo la definizione di insieme diretto e chiamiamo $ x_1 $ l'elemento così generato. Ora accoppiamo $ x_1 $ con tutti gli $ a_i $per i>j, fino al primo $ a_s $ per cui non valga $ x_1>a_s $ generando in modo analogo x_2.Dunque definiamo in generale la successione $ (x_0......x_n.....) $ costruita a questo modo:$ a_1=x_0 $ da un generico $ x_s $generiamo$ x_{s+1} $ accoppiando x_s con tutti gli $ a_i $con i>h, dove $ a_h $ è l'elemento con cui abbiamo accoppiato $ x_{s-1} $per generare $ x_s $,fino al primo m per cui non vale $ x_s>a_m $(e ricordiamo che tale elemento deve esistere in virtù dell'osservazione iniziale),e così applicando la definizione di insieme diretto abbiamo $ x_{s+1}>a_m $e $ x_{s+1}>x_s $. Ora tale successione è palesemente una catena,poichè ogni elemento maggiora tutti i precedenti. Ma è altrettanto palesemente un insieme cofinale dal momento che per ogni k esiste un l tale che $ x_l>a_k $ per costruzione.

Ora questo lemmetto,la cui prova ora ricomposta da quel casino pazzesco e vago scritto ieri(in cui dando per scontato cose finte avevo esteso tale prova,espressa pure in maniera impropria, a ogni insieme infinito), chiaramente non risolve il problema...però ci dice questo: se vogliamo trovare il controesempio, non lo troveremo in un insieme numerabile. Io ora inizierò a provare ad attaccare per bene questo caso...sperando magari di essere in compagnia di qualcun altro sennò si corre il rischio che il post diventi un reperto archeologico...mentre secondo me qui si nasconde un'idea davvero figa,e sarebbe un peccato
Ciao!

Con gli ordini in genere lavorare con il "$ \ge $" (bello) viene più elegante che con il "$ > $" (brutto) (proprio perchè è quella relazione ad essere simmetrica, transitiva, antiriflessiva...). Quindi per sfizio riscrivo la tua dimostrazione in modo più pulito.

Sia $ ~ a_1,a_2,a_3,\ldots $ il nostro insieme numerabile. Costruiamo la successione:
$ x_1 = a_1 $
$ x_{i+1} $ è un elemento tale che $ x_{i+1} \ge x_i $, $ ~ x_{i+1} \ge a_{i+1} $, usando il fatto che l'ordine è diretto.

Questa è una catena cofinale perchè:
- ogni elemento è maggiore o uguale al precedente, quindi è una catena
- $ ~ a_i \le x_i $ per ogni i, quindi è cofinale.

O meglio:
prendete un insieme non numerabile e tutti i suoi sottoinsiemi con complementare finito.
Dimostrate che sta cosa effettivamente non ha una catena cofinale, pur essendo un ordine diretto.