OliForum Matematico

A me è servito a rendere più piacevole l'interminabile viaggio Padova Napoli; divertitevi! : Definiamo la sequenza ricorsiva $ a_s=2^{a_{s-1}} $ e $ a_0=2 $. Dimostrare che per ogni naturale m, la sequenza $ {a_n} $ da un certo punto in poi è costante mod m: detto(un pò più) formalmente, esiste un k di N tale che $ a_k \equiv a_j \pmod m $ per ogni j di N, t.c j>k.
$ {Buon lavoro}^{Buon lavoro^{Buon lavoro....}} $
Ciao!

Butto giusto qualche riga per sapere se sono sulla strada giusta.

Allora
$ $2^{a_{k-1}}\equiv 2^{a_{j-1}}\pmod{m} \Longrightarrow 2^{a_{j-1}-a_{k-1}}\equiv 1\pmod{m}$ $
Ciò può succedere quando $ $a_{j-1} \equiv a_{k-1} \pmod{\phi(m)}$ $ oppure $ $a_{j-1} \equiv a_{k-1} \pmod{ord_{m}(2)}$ $
Vedo che questa cosa è vera in modulo 2, e quindi, credo che l'esercizio si può concludere con un'induzione estesa.

Si la strada è questa, anzi direi quasi che la soluzione è quella: quasi, per motivi di forma, ma la sostanza è questa che dici:induzione estesa ci dirà che la successione è costante mod $ \phi (n+1) $ quindi si deduce che la successione è costante mod(n+1)..facendo giusto qualche attenzione a pari e dispari ma che dà davvero pochissimi problemi tenendo conto che la successione raggiunge qualsiasi potenza di 2...Bene mod se ti va scrivi la soluzione per bene...più per un fatto di forma,che tanto la sostanza l'hai già comunicata...

Ancora un dubbio e poi la riscrivo in bella...

Carlein ha scritto:..facendo giusto qualche attenzione a pari e dispari ma che dà davvero pochissimi problemi tenendo conto che la successione raggiunge qualsiasi potenza di 2..

Questa mi è sfuggita, non ho capito tanto bene che differenza c'è, in questo caso, tra un pari e un dispari. Me lo spieghi un attimo?
Non basta dire che
1. Le potenze di due sono sempre $ $\equiv 0 \pmod{2}$ $ tranne il caso $ $2^0$ $ che naturalmente è da escludere.
2. Supponendo che per tutti i numeri minori di m esistano due $ $a_i$ $ tali che $ $a_{j-1} \equiv a_{k-1} \pmod{numero~minore~di~m}$ $ (ed in particolare modulo $ $\phi(m)$ $) possiamo dire che $ $a_{j-1} \equiv a_{k-1} \pmod{\phi(m)} \Longrightarrow 2^{a_{k-1}}\equiv 2^{a_{j-1}}\pmod{m}$ $$ $\Longrightarrow a_k \equiv a_j \pmod{m}$ $ cioè esistono due $ $a_i$ $ congrui modulo m, e da qui ripetere il gioco.

Nono, tranquillo, non volevo dire neinte di sostanziale(e l'ho pure detto nel post)...semplicemente che se uno la scrive bene deve marcare nel passo induttivo la piccolissima differenza tra il caso pari e quello dispari...se è dispari ti è concesso di chiudere all istante...perchè puoi buttare subito phi essendo 2 coprimo con n+1...altrimenti dici che la successione raggiunge sicuramente l'esponente di 2 in n+1 e poi di nuovo phi riguardo ai dispari di n+1..e di nuovo chiuso...era una postilla minima bretellica messa così...non volevo dire: ACTHUNG TRA DISPARI E PARI CI CORRONO I MARI. Ma forse tu l'hai presa così