OliForum Matematico

Siano $ a_{1}, ... , a_{n} $ interi distinti. Dimostrare che $ P(x) = (x - a_{1})(x - a_{2}) \cdots (x - a_{n}) - 1 $ è irriducibile, ovvero non è il prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado minore.

jordan ha scritto:per la fattorizzazione su Q, se a è radice è della forma b/c con c divisore del coefficiente di x^2008 e b divisore del termine noto 2008!+1, quindi a è della forma +-d, con d divisore intero di 2008!+1, ma p(d) diverso da 0 per ovvi motivi.
chi si cimenta alla domanda mia e di simo(molto piu interessante)?

Anch'io prima ho ragionato così, senza però concludere.

Senza fare così, posso concludere subito notando che dovrebbe essere:

$ P(r) = 0 $
$ (r-a_{1})(r-a_{2}) \cdots (r-a_{n}) = 1 $

Dunque ogni fattore a sinistra dovrebbe essere del tipo $ |r- a_{i}| = 1 $, essendo $ $r$ $ e $ a_{i} $ interi, e questo non è possibile, essendo gli $ a_{i} $ distinti. Poiché:

1) Gli $ (r-a_{i}) $ sono tutti uguali a 1 -> $ a_{m} = a_{n}, \forall m, n \in {1, 2, ..., n} $, impossibile;
2) Gli$ (r-a_{i}) $ sono in numero pari e uguali a -1 -> $ a_{m} = a_{n} , \forall m, n \in {1, 2, ..., n} $, impossibile;
3) Ci sono degli $ (r-a_{p}) $ uguali a 1 e degli $ (r-a_{q}) $, in numero pari, uguali a -1; ci sarà dunque almeno una coppia $ a_{q'} = a_{q''} $, impossibile.

Giusto?

Ne metto un altro, sempre facile.

Sia $ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ un polinomio con tre radici intere distinte.
Dimostrare che non esistono $ $m, n$ $ interi distinti tali che$ P(n) = P(m) = 3 $.

per la sol di ico al primo esercizio, il fatto che sia scomponibile non implica che abbia radici intere.

Non che te lo voglia fulminare ma si basa piu o meno sul principio di prima, $ p(x)=\prod_1^3{(x-\alpha_i)}=3 $ determina univocamente x in quanto 3 (o un qualunque primo p) è pari a 3=-3*1*-1.
@julio, infatti hai ragione, la soluzione giusta al link lha data darkrystal

julio14 ha scritto:per la sol di ico al primo esercizio, il fatto che sia scomponibile non implica che abbia radici intere.

Può essere quindi che abbia radici irrazionali, per esempio, e fattorizzarsi in polinomi a coefficienti interi e viceversa?

Con radici irrazionali e coefficienti interi basta prendere $ $(x^2-2)(x^2-3) $, se invece ha solo radici intere allora ha anche coefficienti interi sse il coefficiente del termine di grado massimo è intero.

$ x^4+4 $ si fattorizza in polinomi a coefficienti interi di secondo grado, ma non ha radici intere ... credo fosse questo che intendeva julio.

Capito. Quindi ho solo dimostrato che non ha radici intere, anzi razionali (vedi sopra), e che quindi quel polinomio non è scomponibile in un prodotto in cui compaiano polinomi di primo grado a coefficienti razionali, giusto? O non posso affermare quest'ultima cosa?

Beh, basta anche una radice non intera a far cadere il giro che fai sugli interi con prodotto 1, l'unica cosa che hai dimostrato è che non sono tutti a coefficienti interi.