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Siano $ a,b,c $ tre reali, distinti a due a due, tali che $ a+b+c=6=ab+bc+ca-3 $. Mostrare che $ 0<abc<4 $.

Credo che questo sia stato quello piu risolto..vedremo

Riporto in breve. Consideriamo il sistema:

$ \displaystyle a+b+c = 6 $
$ \displaystyle ab+bc+ca = 9 $

Dalla prima ricaviamo:

$ \displaystyle c = 6 - (a+b) $

Sostituiamo nella seconda e ricaviamo (dopo aver fatto i conti):

$ \displaystyle b^2 +b (a-6) +(a-3)^2 = 0 $

Da questa equazione di secondo grado ricaviamo b:

$ \displaystyle b = \frac{1}{2} \cdot [(6-a) \pm \sqrt{12a -3a^2}] $

Si vede subito che deve essere $ \displaystyle 12a -3a^2 > 0 $ da cui $ \displaystyle 0 < a < 4 $. Non ho messo i segni di uguale perchè, se fosse a=4 o a=0, si troverebbe b=c, e non può essere perchè per ipotesi sono distinti. Poichè possiamo ripetere il procedimento per le tre variabili, è chiaro che $ \displaystyle 0 < a, b, c < 4 $ da cui $ \displaystyle abc > 0 $, e metà del problema è fatto.
Calcoliamo c:

$ \displaystyle c = 6 - (a+b) = \frac{1}{2} \cdot [(6-a) \mp \sqrt{12a - 3a^2}] $

Quindi calcoliamo:

$ ]\displaystyle a \cdot b \cdot c = \frac {1}{4} a \cdot [(6-a)^2 - (12a - 3a^2)] = \frac{1}{4} a (36 - 24a + 4a^2) $

Vogliamo che sia:

$ \displaystyle 4 - abc > 0 $

Cioè:

$ \displaystyle 16 - (36a - 24a^2 + 4a^3) > 0 $
$ \displaystyle a^3 -6 a^2 +9 a - 4 < 0 $

Adesso, poichè ingiustamente non ci fanno usare l'analisi (mi verrebbe voglia di definire i limiti, poi le derivate, poi dimostrare come si trovano max e min...) facciamo un paio di prove furbe e ci accorgiamo che quella roba equivale a:

$ \displaystyle (a-1)^2 \cdot (a-4) < 0 $

E questo è sicuramente vero perchè avevamo dimostrato prima che a è minore di 4. Che brutto problema.

Pigkappa ha scritto:[...] $ \displaystyle b^2 +b (a-6) +(a-3)^2 = 0 $

Da questa equazione di secondo grado ricaviamo b:

$ \displaystyle b = \frac{1}{2} \cdot [(6-a) \pm \sqrt{12a -3a^2}] $

[...]

Che brutto problema.

Che brutta soluzione
adesso pero mi spieghi perchè non l'hai voluta inviare..
altre più carine?

Anch'io alla fine ho dovuto usare la stessa soluzione contosa di Pigkappa, perchè davvero non sono riuscito a trovarne altre che non usassero l'analisi. Dopo aver dimostrato che tutti e tre i numeri erano positivi, avevo provato ad usare le disuguaglianze con le medie, ma non sono riuscito a cavarci fuori nulla .
Posto qui la soluzione "imbrogliona" ( ) che si avvale dello studio di funzioni: ovviamente prima dimostro, come nella soluzione del Pig, che nessuno dei tre numeri può essere nullo, altrimenti risolvendo il sistema che ne deriva si otterrebbero le soluzioni $ $(3,3,0)$ $, $ $(3,0,3)$ $ e $ $(0,3,3)$ $, che sono incompatibili con le ipotesi del problema (e anche con la tesi).
Dopodiché considero il polinomio avente $ $a$ $, $ $b$ $ e $ $c$ $ come radici, ovvero:

$ $f(x) = x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$ $

La sua derivata prima è:

$ $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ $

che si annulla per $ $x = 1$ $ e $ $x = 3$ $. Perciò tale funzione risulta crescente negli intervalli $ $(- \infty;1)$ $ e $ $(3; + \infty)$ $ e decrescente in $ $(1;3)$ $. Osservando l'andamento della funzione, e dato che $ $f(1) = 4 - abc$ $ è un punto di massimo relativo e $ $f(3) = - abc$ $ è un punto di minimo relativo, ne consegue che $ $f$ $ ha tre radici reali se e solo se:

$ $f(1) > 0$ $ e $ $f(3) < 0$ $

da cui segue la tesi.
Comunque in molti libri di Problem Solving le derivate le usano, e che io sappia anche in qualunque competizione ufficiale .

Pigkappa ha scritto: [...]
Calcoliamo c:

$ \displaystyle c = 6 - (a+b) = \frac{1}{2} \cdot [(6-a) \mp \sqrt{12a - 3a^2}] $

Quindi calcoliamo:

$ ]\displaystyle a \cdot b \cdot c = \frac {1}{4} a \cdot [(6-a)^2 - (12a - 3a^2)] = \frac{1}{4} a (36 - 24a + 4a^2) $
[...]

Non capisco una cosa: come hai calcolato c (non capisco il segno $ \mp $) e come hai trovato $ a\cdot b\cdot c $...
Grazie in anticipo...

Pigkappa ha scritto:Che brutto problema.

Non sono d'accordo

Se chiami $ p=abc $, hai che $ a,b,c $ sono le radici di
$ x^3-6x^2+9x-p $.

Quindi $ p=a(a-3)^2=b(b-3)^2=c(c-3)^2 $, da cui (escludendo diligentemente il caso con qualche variabile nulla o uguale a 3) $ a,b,c $ hanno lo stesso segno e quindi sono positivi.

Supponendo invece $ p>4 $, si ottiene che $ a,b,c $ saranno soluzioni della disequazione
$ x^3-6x^2+9x>4 $, ovvero $ (x-1)^2(x-4)>0 $.
Ma allora sono tutti e tre $ >4 $, assurdo.
Rimane il caso $ p=4 $ che porta a due variabili uguali, come il caso $ p=0 $.

Cosa c'è da capire? c è uguale a 6 - (a+b), e quanto vale b in funzione di a lo so perchè l'ho già ricavato. In b compare un segno $ \displaystyle \pm $ che in c diventa $ \displaystyle \mp $ perchè ci metti un altro segno meno.

abc allo stesso modo si trova moltiplicando a*b*c, dove b e c sono espressi in funzione di a.

Se la metti così scusa se te l'ho chiesto...
Comunque adesso ho capito.. Grazie...

giove ha scritto:

Pigkappa ha scritto:Che brutto problema.

Non sono d'accordo

Se chiami $ p=abc $, hai che $ a,b,c $ sono le radici di
$ x^3-6x^2+9x-p $.

Quindi $ p=a(a-3)^2=b(b-3)^2=c(c-3)^2 $, da cui (escludendo diligentemente il caso con qualche variabile nulla o uguale a 3) $ a,b,c $ hanno lo stesso segno e quindi sono positivi.

Supponendo invece $ p>4 $, si ottiene che $ a,b,c $ saranno soluzioni della disequazione
$ x^3-6x^2+9x>4 $, ovvero $ (x-1)^2(x-4)>0 $.
Ma allora sono tutti e tre $ >4 $, assurdo.
Rimane il caso $ p=4 $ che porta a due variabili uguali, come il caso $ p=0 $.

perfect..

giove ha scritto:
Quindi $ p=a(a-3)^2=b(b-3)^2=c(c-3)^2 $

avevo avuto la tua stessa idea di partenza ma poi non l'ho saputa sfruttare come te, in particolare questo passaggio.....bella soluzione

giove ha scritto:Quindi $ p=a(a-3)^2=b(b-3)^2=c(c-3)^2 $

Acciderbolina ero arrivato anch'io a questo passaggio, ma non ho saputo guardare fino in fondo .

Io dopo aver trovato le relazioni $ $4a-a^2>0$ $, $ $4b-b^2>0$ $ e $ $4c-c^2>0$ $ le ho prese e moltiplicate tutte e tre fra loro. Ponendo $ $abc=p$ $ e facendo un po di calcoli si otteneva poi $ $p(p-4)<0$ $ da cui la tesi.

fede90 ha scritto:Io dopo aver trovato le relazioni $ $4a-a^2>0$ $, $ $4b-b^2>0$ $ e $ $4c-c^2>0$ $ le ho prese e moltiplicate tutte e tre fra loro. Ponendo $ $abc=p$ $ e facendo un po di calcoli si otteneva poi $ $p(p-4)<0$ $ da cui la tesi.

E' vero si poteva fare anche così, che stupido !

Pigkappa ha scritto:Cosa c'è da capire? c è uguale a 6 - (a+b), e quanto vale b in funzione di a lo so perchè l'ho già ricavato. In b compare un segno $ \displaystyle \pm $ che in c diventa $ \displaystyle \mp $ perchè ci metti un altro segno meno.

abc allo stesso modo si trova moltiplicando a*b*c, dove b e c sono espressi in funzione di a.

C'è sempre qualcosa da capire... ad esempio che la buona educazione non è mai superflua.

Mostrate sotto le stesse ipotesi (con l'ordine a<b<c) che $ 0<a<1<b<3<c<4 $