Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}^{+}\mapsto \mathbb{R}^{+} $ tali che $ f(f(f(x)))+4f(f(x))+f(x)=6x $
Vojtěch Jarník I.M.C. 2008
Il problema era proposto ad universitari, ma ha soluzione olimpica, anche carina secondo me.
Funzionale ricorrente dalla Repubblica Ceca
-
exodd
- Messaggi: 728
- Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
una cosa che non ricordo delle funzionali era questo:
$ f(x)=z $ implica $ f(z)=x $?
perchè se è così possiamo dire che
$ f(f(z))+4f(z)+z=6f(z) $
$ f(f(z))-2f(z)+z=0 $
$ f(z)=y $
$ f(y)+4y+f(y)=6y $
$ f(y)=y $
sostituendo all'iniziale viene...
$ f(x)=z $ implica $ f(z)=x $?
perchè se è così possiamo dire che
$ f(f(z))+4f(z)+z=6f(z) $
$ f(f(z))-2f(z)+z=0 $
$ f(z)=y $
$ f(y)+4y+f(y)=6y $
$ f(y)=y $
sostituendo all'iniziale viene...
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
Rileggendo il titolo...
Verifichiamo
$ $x+4x+x=6x$ $
Ora definiamo una successione per ricorrenza:
$ $a_0=a$ $
$ $a_{n+1}=f(a_n)$ $
L'equazione funzionale di partenza può quindi essere scritta come
$ $a_{n+3}+4a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n$ $
Spostando i termini di qua e di là otteniamo la seguente relazione
$ $a_{n+3}=-4a_{n+2}-a_{n+1}+6a_n$ $
Non ci resta altro che trovare una formula chiusa (si dice così, no?) per ogni termine della successione e quindi risolviamo la seguente equazione di terzo grado
$ $z^3+4z^2+z-6=0$ $
Un po' di calcoli, (mica tanto visto che il caro Ruffini ci suggerisce di trovare le radici fra i divisori di $ $-6$ $), e le radici sono $ $+1,~-2,~-3$ $
Adesso possiamo scrivere
$ $a_n=r(1)^n+s(-2)^n+t(-3)^n$ $
con r, s, t da determinare
Facendo un po' di casi (sfruttando del fatto che la funzione va dai positivi ai positivi) si può dire che s e t devono essere per forza uguali a 0,
e quindi $ $a_{n}=r$ $ ; ma siccome $ $a_0=a=r$ $ abbiamo che $ $a_n=a$ $.
Ponendo ora $ $n=1$ $ otteniamo la tesi
$ $a_1=f(a_0)=f(a)=a$ $
Se non ho sbagliato qualche passaggio allora il problema era davvero carino
Dunque l'unica funzione che soddisfa è $ $f(x)=x$ $Funzionale ricorrente...
Verifichiamo
$ $x+4x+x=6x$ $
Ora definiamo una successione per ricorrenza:
$ $a_0=a$ $
$ $a_{n+1}=f(a_n)$ $
L'equazione funzionale di partenza può quindi essere scritta come
$ $a_{n+3}+4a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n$ $
Spostando i termini di qua e di là otteniamo la seguente relazione
$ $a_{n+3}=-4a_{n+2}-a_{n+1}+6a_n$ $
Non ci resta altro che trovare una formula chiusa (si dice così, no?) per ogni termine della successione e quindi risolviamo la seguente equazione di terzo grado
$ $z^3+4z^2+z-6=0$ $
Un po' di calcoli, (mica tanto visto che il caro Ruffini ci suggerisce di trovare le radici fra i divisori di $ $-6$ $), e le radici sono $ $+1,~-2,~-3$ $
Adesso possiamo scrivere
$ $a_n=r(1)^n+s(-2)^n+t(-3)^n$ $
con r, s, t da determinare
Facendo un po' di casi (sfruttando del fatto che la funzione va dai positivi ai positivi) si può dire che s e t devono essere per forza uguali a 0,
e quindi $ $a_{n}=r$ $ ; ma siccome $ $a_0=a=r$ $ abbiamo che $ $a_n=a$ $.
Ponendo ora $ $n=1$ $ otteniamo la tesi
$ $a_1=f(a_0)=f(a)=a$ $
Se non ho sbagliato qualche passaggio allora il problema era davvero carino
Appassionatamente BTA 197!