enigmatic question"per chi si fa i complessi"(own)
Inviato: 01 ott 2008, 10:12
Trovare tutti gli $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ (n+1)(n^{2008}+1)+n^{2007} $ sia primo 
Sviluppando si ottiene
$ p(n)=n^{2009}+n^{2008}+n^{2007}+n+1 $
Si vede subito che modulo 5 gli esponenti occupano tutte le classi di resto. Ciò vuol dire che, se $ \omega_i\; 1\leq i\leq 4 $ sono le quattro radici quinte complesse dell'unità, allora $ p(\omega_i)=0 $ (infatti soddisfano $ n^4+n^3+n^2+n+1=0 $).
Ciò implica per Ruffini che $ p(n) $ è divisibile per ciascun fattore del tipo$ (n-\omega_i) $, ovvero $ p(n) $ è divisibile per $ n^4+n^3+n^2+n+1 $.
Sia $ q(n) $ il quoziente.
Per $ n=1 $ si ottiene $ p(n)=5 $, che va bene.
Se $ n>1 $, allora $ q(n)>n^4+n^3+n^2+n+1>5 $, il che implica che p(n) ha almeno 2 fattori.
Quindi l'unico valore che va bene è 1.