Numerabilità e basi di Hamel
Inviato: 01 ott 2008, 18:21
Una base di Hamel è numerabile?
Non è che il primo olimpionico che passa per il forum sa cos'è una base di Hamel...
Comunque una base di Hamel è un insieme A di numeri reali tale che ogni reale si possa scrivere in modo unico come combinazione lineare a coefficienti razionali di elementi di A, cioè nella forma:
$ q_1a_1 + \ldots + q_na_n $
con i q razionali, e gli a in A.
Per chi sa cos'è uno spazio vettoriale, una base di Hamel è una base di R pensato come spazio su Q.
Comunque la risposta è: no, hanno la stessa cardinalità di R.
La loro cardinalità è sicuramente non più grande di R (essendo un sottoinsieme di R); associando ad ogni reale la sua rappresentazione come combinazione lineare troviamo una funzione iniettiva da A (la base) a:
$ \mathbb{R} \times \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \times \mathbb{Q})^2 \cup (\mathbb{R} \times \mathbb{Q})^3 \cup \ldots $
La cardinalità di R^n è la stessa di R, e la cardinalità di una unione numerabile di copie di R è ancora quella di R. Segue la tesi.