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Trovare tutti le coppie reali $ (x,y) $ tali che:
i)$ \displaystyle \frac{x}{2}+\frac{3}{2x}=y-1 $
ii)$ \displaystyle \frac{y}{2}+\frac{7}{2y}=x-1 $

Ma è un sistema o sono 2 equazioni separate?

Mah, il titolo del topic ci fa pensare che si tratti proprio di un sistema di due equazioni in due incognite .

Algebert ha scritto:Mah, il titolo del topic ci fa pensare che si tratti proprio di un sistema di due equazioni in due incognite .

ho provato a farla sostituendo la y all'interno della 2° equazione e mi ritrovo un polinomio di 4° grado che pero non riescoa scomporre perchè non conoco neanche una radice....

ho provato anch'io in questo modo, e ho ottenuto questa equazione:
$ \displaystyle\frac{3x^4-34x^2-24x-9}{4x^2(x^2+2x+3)}=0 $
Poiché $ x^2+2x+3 $ è sempre positivo l'unica condizione, peraltro già presente nel testo, è che $ x\neq0 $, quindi togliamo il denominatore.
Ruffinando il polinomio troviamo che si può scomporre e diventa
$ (x+3)(3x^2-9x^2-7x-3)=0 $
Troviamo quindi una soluzione $ (x,y)=(-3,-1) $
Rimane da trovare almeno una delle radici di
$ 3x^2-9x^2-7x-3=0 $
[work in progress]

pak-man ha scritto: Rimane da trovare almeno una delle radici di
$ 3x^2-9x^2-7x-3=0 $

dividendo per 3 si ottiene
$ x^3-3x^2-(7/3)x-1=0 $
consideriamo le radici del polinomio:
la somma delle radici è uguale a 3, quindi AM delle radici è 1
il prodotto delle radici è 1, quindi GM delle radici è 1
l'unica possibilità in cui AM=GM è quella in cui le radici siano uguali, quindi deve essere un cubo di binomio, ma visto che il suo termine noto è 1 potrebbe essere solo $ (x-1)^3 $
visto che non lo è, non ci sono soluzioni reali per questa equazione

Le diseguaglianze fra medie valgono solo sui positivi... Inoltre, un polinomio di grado dispari ha sempre almeno una radice reale


Dico qualitativamente come l'ho fatto io:

-Elimino i denominatori da entrambe le frazione
-Le sottraggo, ottendo $ x-y=roba $
-Scompongo il $ x^2-y^2 $ che mi trovo nel RHS
-Riprendo le equazioni di partenza senza denominatori, mi ricavo $ xy $ da entrambe e uguaglio quello che mi viene fuori
-Pongo $ a=x+y $ e $ b=x-y $ e sostituisco alle due equazioni trovate
-Mi viene un sistema di facile soluzione in $ a $ e $ b $
-Mi ricavo $ x $ e $ y $ da $ a $ e $ b $

Be , ok, io avevo postato la mia soluzione qui, solo che avevo sbagliato un banale conto e la mia dimostrazione restava vera solo per valori negativi delle variabili. Poi dopo che Stex ha suggerito il polinomio ho trovato l'errore dato che avevo visto che era di quarto grado (e se ne esiste una di radice reale allora ne esiste anche un'altra! ), ma se esiste un modo x trovarla per il momento non saprei ..(fede90 lha trovata con derive..e credo sia abbastanza orribile per avere una soluzione olimpica..)
be, l'intento dell'esercizio non era comunque l'uso della forza bruta
a voi la parola..