qualcuno ha osato usare l'Hopital. Meglio dare un'idea prima che riesca a suicidarsi
poniamo $ $x=\frac{\pi}{2}-t $
ergo
$ $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}^-}\cos{x}^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}-\frac{\sin^2{x}}{\cos{x}}}\right)= $$ $\lim_{t\rightarrow0^+}\sin{t}^{\cos{t}}\left(\sin{t}\ln{\sin{t}-\frac{\cos^2{t}}{\sin{t}}}\right) $
Noi sappiamo che per $ ~a>0 $ $ $\lim_{\xi\rightarrow0^+}\xi^a\ln{\xi}=0^- $
Dei termini tra le parentesi, il primo si annulla l'altro diverge asintoticamente all'inverso del seno, ergo
$ $\simeq\lim_{t\rightarrow0^+}-\frac{\sin{t}^{\cos{t}}}{\sin{t}}=\lim_{t\rightarrow0^+}-\sin{t}^{\cos{t}-1} $$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{\big[(\cos{t}-1)\ln{\sin{t}}\big]} $
dato che a me non garbano sempre gli sviluppi (a volte non sono convenienti)
$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{\left[-\frac{(1-\cos^2{t})\ln{\sin{t}}}{1+\cos{t}}\right]} $$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{\left[-\frac{\sin^2{t}\ln{\sin{t}}}{1+\cos{t}}\right]} $
riusiamo il limite solito e
$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{0^+}=-1^- $
