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Sia $ p $ un primo.

Mostrare che $ p^2 $ è della forma $ a^2+2b^2 $ (con a e b interi non nulli) se e solo se lo è anche $ p $.


[Grazie a Skz x la precisazione..]

penso che manchi qualcosa, perche' altrimenti basta porre b=0 e a=p

Prima implicazione, la più semplice: $ p=a^2+2b^2 \Rightarrow p^2=c^2+2d^2 $.

$ p^2=(a^2+2b^2)^2=a^4+4a^2b^2+b^4 $ $ =a^4-4a^2b^2+b^4+8a^2b^2=(a^2-2b^2)^2+2(4a^2b^2) $,
cioe' $ c=|a^2-2b^2| $ e $ d=2ab $.

Sia ora $ p^2=a^2+2b^2 $. Poiche' $ p>2 $, $ a $ deve essere dispari, inoltre studiando la precedente equazione modulo 4 si ha che $ b $ deve essere pari, $ b=2n $. Scriviamo allora $ p^2-a^2=2b^2=8n^2 $, che puo' essere riscritta cosi'
$ (p-a)(p+a)=8n^2 $. Ora senza perdita di generalita' posso scrivere:

$ p-a=2\alpha $, (1)
$ p+a=2\beta $, (2)

con $ 2\alpha 2\beta =8n^2 $. Ora, dalla (1) e dalla (2) si ottiene che $ p=\alpha + \beta $, questo implica tra l'altro che $ \alpha $ e $ \beta $ sono relativamente primi. Inoltre avevamo posto $ 2b^2=2\alpha 2\beta $, cioe' $ b^2=2\alpha\beta $.
Finiamo ora studiando le (1) e (2) modulo 4. Il primo $ p $ puo' essere 1 o -1, cosi' come il numero dispari $ a $. Quindi almeno uno fra $ \alpha $ e $ \beta $ deve essere dispari. Per semplicita' supponiamo sia $ \alpha $.

Quindi, la relazione $ b^2=2\alpha\beta $ implica che $ \alpha $ deve essere un quadrato dispari, $ c^2 $, e che $ \beta $ deve essere un quadrato moltiplicato per 2, cioe' $ \beta=2d^2 $, afficnhe' anche $ 2\beta $ sia un quadrato. Finalmente ho

$ p=\alpha + \beta=c^2+2d^2 $.

Va bene?

Perfect