OliForum Matematico

si ha un polinomio $ p(x) $ di grado $ p-1 $ con $ p $ primo maggiore di 3
sapendo che le radici sono $ 1,2,3,...,p-1 $ dimostrare che il coefficiente del termine $ x $ cambiato di segno è divisibile per $ p^2 $

Sono riuscito a dimostrare solo che è divisibile per p...

Poichè p è maggiore 3, p è dispari dunque il coefficiente della x ha segno negativo. Cambiamogli segno e indichiamolo k:
$ $ k= - \left( -\frac {(p-1)!}{1} -\frac {(p-1)!}{2} -\frac {(p-1)!}{3} - ... -\frac {(p-1)!}{p-1} \right) = (p-1)! \sum_{n=1}^ {p-1} {\frac {1}{n} $
Ora, poichè $ $ \frac {1}{n} \equiv n^{p-2} \pmod p $ (moltiplicando per n membro a membro si ottiene il piccolo teorema di Fermat), ottengo $ $ k= (p-1)! \sum_{n=1}^{p-1} {n^{p-2}} $.
Ora, $ $ \sum_{n=1}^{p-1} {n^{p-2}} \equiv 0 \pmod p $ , in quanto è la somma di un sistema completo di residui elevato ad esponente p-2. Dunque k è divisibile per p.

Spero di non avere scritto cavolate...

la dimostrazione la potresti gia concludere dicendo che:$ \displaystyle p^2 | \sum_{k=1}^{p-1}{\frac{1}{k}} $ per il teorema di wolstenholme ( cmq ti consiglio di cercare di dimostrare il teorema xke la sua dimostrazione puo essere istruttiva)


x exodd: nn capisco xke hai richiesto quel segno cambiato nella traccia del problema (la divisibilita e invariante per cambiamenti di segno)

mi sa che ti sei dimenticato il $ ~(p-1)! $

Jacobi ha scritto: x exodd: nn capisco xke hai richiesto quel segno cambiato nella traccia del problema (la divisibilita e invariante per cambiamenti di segno)

diciamo che ho formulato un problema equivalente ad uno che ho trovato su un libro olimpionico, e, per coerenza ho riportato anche il segno....

SkZ ha scritto:mi sa che ti sei dimenticato il $ ~(p-1)! $

si, infatti si deve anche dire che che il denominatore di quella somma si semplifica con $ (p-1)! $ mentre il numeratore x wolstenholme e divisibile per p^2 quindi l'intero prodotto e divisibile x p^2 (ah la fretta... )

Comunque provate a risolverlo... garantisco ( a meno di abbagli, cosa abbastanza frequente) l'esistenza di una soluzione che non richieda nè wolstenholme nè generatori...

@Alex89:
Potresti postare la soluzione?