OliForum Matematico

Per chi volesse perdere qualche minuto, ecco questo semplice problema...

Data una molla di costante elastica $ k $ posta verticalmente a cui è appoggiata una massa $ m $ trovare di quanto bisogna comprimere la molla affinché la massa ricada a terra dopo un intervallo di tempo $ t $

Agostino ha scritto: affinché la massa ricada a terra

Cosa intendi con 'terra'? Il punto di equilibrio, una generica altezza o cos'altro?

il punto di equilibrio della molla.

Con punto di equilibrio intendi l'altezza a cui arriva la molla a riposo o quando ha il corpo poggiato sopra?
Il tempo $ $ t_1 $ affinchè il corpo vada dalla posizione in cui la molla è compressa di un tratto $ $ \Delta x $ rispetto alla posizione di riposo, fino alla posizione di riposo della molla, è $ $ t_1=\sqrt { \frac {2s}{a}} $ , dove $ a $ si può ricavare dalla relazione $ $ F_{el} - P = ma \rightarrow \frac{1}{2}k x^2 -mg = ma \rightarrow a =\frac {k \Delta x - mg}{m} $.
Sostituendo si trova $ $ \displaystile t_1 = \sqrt {\frac {2 \Delta x }{\frac {k \Delta x - mg}{m} } } = \sqrt {\frac {2 m \Delta x }{k \Delta x - mg}} $.
Invece il tempo $ $ t_2 $ in cui il corpo parte dalla posizione di riposo della molla e arriva alla massima altezza è dato da $ $ t_2 = \frac {v_0}{g} $ , dove $ $ v_0 $ si ricava con la conservazione dell'energia: $ \displaystile U_{el}= K + U_{pot} \rightarrow \frac{1}{2}k (\Delta x)^2 = \frac {1}{2} m v_0^2 + m g \Delta x \rightarrow v_0 = \sqrt {\frac{k (\Delta x )^2 - 2 mg \Delta x}{m}} $
da cui $ \displaystile $ t_2 = \frac {\sqrt {\frac{k (\Delta x )^2 - 2 mg \Delta x}{m}}}{g} = \sqrt {\frac{k (\Delta x )^2 - 2 mg \Delta x}{mg^2}} $ .
Se questi due risultati vanno bene, basta che prendi i tempi che vanno a formare l'intervallo di tempo totale, li sommi e ricavi $ $ \Delta x $ .
Correggetemi se ho sbagliato..

Davide90 ha scritto:Con punto di equilibrio intendi l'altezza a cui arriva la molla a riposo o quando ha il corpo poggiato sopra?

intendo la posizione di equilibrio della molla quando è scarica...quindi il tempo è da calcolarsi da quando questa abbandona questa posizione...

comunque il tuo ragionamento sembra quadrare...

però stavo pensando una cosa...appoggiando il peso, la molla si comprime secondo tale legge $ \displaystyle \Delta s=\frac{mg}{k} $...penso che questa debba essere considerata...a meno che poi dal risultato finale si sottrae questo contributo...confermate?

A me invece il ragionamento non sembra quadrare... Il moto del sistema massa-molla è armonico, quindi non si possono applicare le leggi del moto uniformemente accelerato perchè l'accelerazione non è costante

String ha scritto:A me invece il ragionamento non sembra quadrare... Il moto del sistema massa-molla è armonico, quindi non si possono applicare le leggi del moto uniformemente accelerato perchè l'accelerazione non è costante

effettivamente per la prima parte hai ragionissima...però nella seconda sembra andar bene...

String ha ragione.
bisogna calcolare dalla massima estensione fino alla posizione di riposo della molla, ovvero ove la molla inizia ad esercitare una forza verso il basso al corpo. Se non ci fosse la gravita' avremmo 1/4 del periodo.

SkZ ha scritto:ovvero ove la molla inizia ad esercitare una forza verso il basso al corpo.

questa cosa non mi è molto chiara...non appena io appoggio la massa la molla comincia ad esercitare una forza?...solo che il corpo non si muove perché sarà uguale alla forza peso...

il fatto su cui mi interrogavo era legato al fatto che io appena ci appoggio la palla la molla si comprime, quindi alla fine il problema si riferisce alla compressione totale (quella nostra e quella iniziale legata all'appoggio della palla)...a questo punto è giusto dire $ \displaystyle \frac{1}{2}k \cdot(\Delta x_1+\Delta x_2)^2=mgh $ dove $ \Delta x_1,x_2 < 0 $? dove $ \Delta x_1 $ e $ \Delta x_2 $ sono rispettivamente la compressione dovuta alla palla e quella dovuta a noi...

appena appoggi la massa la gravita' comprime la molla ergo la molla esercita un forza. quando le 2 forze si equivalgono si ha la posizione di riposo molla/massa.
ma la molla smette di spingere la massa (dato che la molla non ha massa e quindi inerzia) nella sua posizione di riposo. Oltre quella posizione, se la massa fosse collegata alla molla, avremo una decelerazione sia da parte della gravita' che della molla.

Ho provato a pensarci....
La forza che fa muovere verso l'alto la massa è la forza risultante tra il peso e la forza elastica. Dunque finche questa differenza sarà maggiore di zero, cioè dalla posizione iniziale di compressione di molla fino alla posizione in cui la forza elastica uguaglia il peso (cioè la posizione con la massa appoggiata) il moto è di tipo armonico. Da quel momento il moto diventa uniformemente accelerato con accelerazione uguale a g, perchè la mossa non eserciterà più forza sulla massa che avrà velocità maggiore della molla.
Secondo voi così può andare bene?

Già che ci sono dico la mia.

Applicando la conservazione dell'energia meccanica tra la situazione in cui la molla è compressa di un determinato $ \Delta x $ e quella in cui lascia il corpo (cioè è in posizione di riposo) ottengo che $ v = \sqrt {\frac {k}{m}} \cdot \Delta x $.
Sappiamo che il tempo necessario a raggiungere la massima altezza è $ t = \frac {-v}{-g} $ e perciò il tempo richiesto a ricadere (cioè a tornare ad una altezza pari a quella della molla a riposo) è esattamente il doppio; da cui otteniamo $ \Delta x = \frac {gt}{2} \cdot \sqrt {\frac {m}{k}} $.
E' sbagliato?

abbiamo, con sistema di rif verso alto e punto zero nel punto di riposo della molla
$ $\frac{1}{2}kx^2+mgx+\frac{1}{2}m\dot{x}^2=\frac{1}{2}k\delta^2-mg\delta=m\epsilon $
con $ ~-\delta $ posizione di "carica"
posto $ $\nu^2=\frac{k}{m} $
$ $\nu^2x^2+2gx+\dot{x}^2=2\epsilon $
abbiamo
$ $\textrm{d}t=\frac{\textrm{d}x}{\sqrt{2\epsilon+g^2\nu^{-2}-(\nu x+g\nu^{-1})^2}} $

dovrebbe essere giusto

Cosa indichi con $ \displaystile \epsilon $ ?
Un'altra cosa: l'aver scritto
$ $ 2\epsilon - \nu^2x^2-2gx $ come $ $ 2\epsilon+g^2\nu^{-2}-(\nu x+g\nu^{-1})^2} $ serve a "vedere" una sola volta la variabile x nell'espressione, giusto

come si evince e' l'energia per unita' di massa

solo sistemato meglio per integrare: mia abitudine e mania

questo e' il tempo finche' la massa ha che fare con la molla
intervalli di integrazione li sapete