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Mi piacerebbe vedere come voi risolvereste questo problema, non difficile

Due palline di massa $ m_1=10g $, $ m_2=5g $ connesse da un filo teso, inestensibile, di massa nulla e lungo $ 2l=10cm $ si muovono su un piano orizzontale liscio con velocità uguale e perpendicolare al filo, di modulo $ v=5cm/s $. In un certo momento il centro del filo viene agganciato in un punto O e rimane bloccato. In seguito a ciò le due palline percorrono due archi di circonferenza di uguale raggio $ l $.

a) Se le due palline si urtano in modo totalmente anelastico, quale sarà la velocità angolare finale della massa risultante $ m_1+m_2 $?

b)Quanto vale la reazione vincolare nel punto O immediatamente prima e immediatamente dopo l'urto delle due palline tra loro?

(Si trascurino le dimensioni delle palline rispetto ad $ l $)

Good work

Ci provo...

Allora se l'urto è anelastico abbiamo che la quantità di moto si conserva:

$ m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v_f \Rightarrow v_f = v_i = 5 \, \textrm{cm/s} $

Quindi essendo $ \displaystyle \omega = \frac{v}{r}=\frac{0,05}{0,05}=1 \, \textrm{rad/s} $

Per la reazione vincolare devo calcolare la Forza Centrifuga della palline?

Provo così...le palline viaggiano a velocità costante fin quando dopo aver urtato (con il filo) il chiodo al entro, la direzione delle palline cambia descrivendo archi di circonferenza uguali (dal momento che si muovono alla stessa velocità). La forza vincolare del filo fa cambiare direzione alle palline quindi questa è la forza centripeta.
Le palline si scontrano e siccome l'urto è totalmente anelastico la velocità del corpo dovrei poterla ricavare da questa relasione $ $ m_1v+m_2v=(m_1+m_2)v_f \rightarrow v_f=\frac {v(m_1+m_2)}{m_1+m_2}= 5m/s $ quindo detta $ \omega=v/r $ avremo $ \displaystyle \omega=\frac{5 \frac{cm}{s}}{5 cm}= 1 rad/s $

Per il secondo (solo dopo l'urto, al resto poi i penso) la forza centripeta=forza vincolare quindo $ F_c=\omega^2 \cdot r \cdot (m_1+m_2) $ dove $ \displaystyle T=F_c=0.75 \cdot 10^-^3 $

EDIT:già preceduto

Stesso errore che ho fatto io... il risultato non è quello, evidentemente la quantità di moto non si conserva, forse per l'azione del vincolo...

Alex90 ha scritto:$ m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v_f \Rightarrow v_f = v_i = 5 \, \textrm{cm/s} $

Occhio! Quando le palline si scontrano vanno una verso l'altra, quindi le velocità hanno lo stesso modulo, ma verso opposto. La quantità di moto è $ p=m_1 v_i - m_2 v_i=(m_1+m_2)v_f $ da cui $ \displaystyle v_f=v_i\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}=\frac53\simeq1.67\ cm/s\Rightarrow\omega=0.333\ rad/s $

Alex90 ha scritto:Per la reazione vincolare devo calcolare la Forza Centrifuga della palline?

$ \bullet $Prima dell'urto.
Nel moto circolare $ a_R=v^2/r $, quindi la forza centripeta è $ \displaystyle f_c=\frac{mv^2}r $.
Prima dell'urto allora $ \displaystyle f_c=\frac{m_1v_i^2+m_2v_i^2}r=7.50\cdot10^{-3} N $
$ \bullet $Dopo l'urto.
La forza centripeta è $ \displaystyle f_c=\frac{(m_1+m_2)v_f^2}r=8.33\cdot10^{-5} N $

La quantità di moto si conserva nell'urto. Il punto è che le velocità delle due palline hanno verso opposto.

Io ho considerato le velocità come vettori quindi la somma delle due quantità di moto iniziali è in realtà una differenza. La velocità finale mi viene quindi 1,6 cm/s mentre la velocità angolare 0,333 rad/s...

sono stato preceduto anch'io

elendil ha scritto:Io ho considerato le velocità come vettori quindi la somma delle due quantità di moto iniziali è in realtà una differenza. La velocità finale mi viene quindi 1,6 cm/s mentre la velocità angolare 0,333 rad/s...

Bene!

elendil ha scritto:sono stato preceduto anch'io

Male...

@ Feddystra: ok, giusto, però hai dato per scontato che prima e dopo l'aggancio del filo con il vincolo le velocità dei due corpi rimangono invariate, invece per me non era così immediato, quindi come lo dimostri?

Un filo teso può esercitare una forza solo lungo la sua direzione, non trasversalmente. Ora, se ammetti che dopo l'aggancio la massa continui istantaneamente a viaggiare nella medesima direzione (i.e. la tangente alla circf. che seguirà poi) e dato che in quel momento il filo è perpendicolare, sarai anche d'accordo sul fatto che la corda non può aver trasmesso un impulso alla massa in grado di modificare il modulo della sua velocità (impulsi perpendicolari modificano solo la direzione).

ok, un'ultima cosa: per quanto riguarda il secondo punto, prima dell'urto, per calcolare la reazione del vincolo, non bisognerebbe fare la somma vettoriale delle forze centripete dei due corpi?

Sì, ma si suppone che i due corpi siano così vicini (tra le ipotesi ci sarà stato che le palline sono puntiformi) che le due forze centripete abbiano la stessa direzione e verso. E' per questo motivo che mi sono limitato al modulo.

Ok, grazie mille per le spiegazioni e la pazienza