OliForum Matematico

Dato n maggiore o uguale a 2: siano $ a_1.....a_n $ naturali tali che $ 2^{a_i}-1 \equiv 0 \pmod {a_{i+1}} $ (si legga n+1 mod n). Provare che $ a_i=1 $ per ogni i in (1.....n).
Buon lavoro
ciaociao!
p.s:Imo long list 1985

Ma c'è qualcosa che non ho capito, che non mi torna. Cioè, per come l'hai scritta, a me sembra falsa, ma può anche darsi che mi stia confondendo io eh.

Perchè?Cos'è che non va? ah cmq con n+1 modn intendevo che con n si chiude il ciclo e 2^a_n-1 è multiplo di a_1....

Ecco, era proprio quello che non mi tornava. Ora è chiaro.

Tutti gli $ a_i $ sono dispari.
Sia $ p $ il più piccolo primo che divide $ \prod{a_i} $ e wlog $ p \mid a_1 $. Allora $ p \mid 2^{a_2}-1 $ e $ p \mid 2^{p-1}-1 $, per cui $ p \mid (2^{a_2}-1,2^{p-1}-1)=2^{(a_2,p-1)}-1 $. Ma $ a_2 $ non ha divisori primi più piccoli di $ p $ per ipotesi, da cui $ a_i=1 $ per ogni $ 1 \le i \le n $.

Scusate la domanda : mi spieghereste qual'è la differenza quando si parla di short list e long list degli IMO? Se non ho capito male la prima è la lista dei problemi che vengono assegnati, l'altra è quella dei candidati.. E' possibile? Grazie mille!

Prova qui

Grazie mille