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Dato un triangolo rettangolo ABC retto in A, e una semicirconferenza inscritta nel triangolo, con centro O sull'ipotenusa e tangente ad entrambi i cateti, e note le distanze OB=10 e OC=15, dire la misura del raggio di tale circonferenza.
(vado a ricordi spero di non aver sbagliati il testo)

mooooolto mutatis mutandis l'immagine è questa...



I due raggi sono perpendicolari ai due cateti perché i cateti sono tangenti in quei punti alla semicirconferenza e (i raggi) perpendicolari tra di loro perché perpendicolari a rette perpendicolari...

Si noti la similitudine tra i triangoli rettangoli $ $BOK$ $ e $ $OCJ$ $ (dove $ $K$ $ e $ $J$ $ sono rispettivamente su $ $ \overline {AB}$ $ e su $ $ \overline {AC}$ $ quindi si avrà

$ $ \frac { \overline {OB}}{r}=\frac {\overline{OC}}{\sqrt {\overline {OC}^2-r^2}}$ $ da cui

$ $ \frac {r}{ \overline {OB}}= \frac{\sqrt {\overline {OC}^2-r^2}}{\overline{OC}}$ $ si elevino al quadrato e si ottiene $ $ \frac {r^2}{100}= \frac {225-r^2}{225}$ $ da cui

$ $ \frac{9r^2-900+4r^2}{900}=0 $ $ quindi $ $ r=\frac{30}{\sqrt 13} $ $...

mi sembra un po strano però...ci deve essere qualcosa di meno "calcoloso"...

Direi che vada bene
Alla fine non ci sono molti conti, mi sembra un classico Archimede...