OliForum Matematico

Da un semicerchio di cartone di raggio 10 cm si ritaglia un cerchio di diametro massimo. Dai due tronconi rimasti si ritagliano due cerchi di diametro massimo.
Qual'è la percentuale di cartoncino sprecata?

In analitica, almeno concettualmente è affrontabile ma richiederebbe troppo tempo...ci deve essere qualcosa di meno lungo...(forse potrebbe bastare dare un occhio alle soluzioni possibili )

Per caso è 25%?

Agostino ha scritto:In analitica, almeno concettualmente è affrontabile ma richiederebbe troppo tempo...ci deve essere qualcosa di meno lungo...(forse potrebbe bastare dare un occhio alle soluzioni possibili )

è uno di quei problemi che avrei risolto ad esclusione....con l'analitica ho desistito dopo la seconda pagina di calcoli

$ 1/4 $

a occhio rimane circa il 25% (dopo il primo taglio rimane il 50%)

non c'è bisogno dell'analitica, ma solo di un paio di teoremi di pitagora

exodd ha scritto:non c'è bisogno dell'analitica, ma solo di un paio di teoremi di pitagora

e più precisamente?

Mah, io non ho usato Pitagora...
Ho visto che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale è quello di lato 10cm al centro del semicerchio. Una volta ritagliato il cerchio (che ha quindi raggio pari a 5cm) si vede allo stesso modo che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale, è quello di lato 5cm con la base posta sul raggio del semicerchio iniziale, quindi con il cerchio di raggio pari a 2,5cm... il resto poi sono calcoli

String ha scritto:Mah, io non ho usato Pitagora...
Ho visto che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale è quello di lato 10cm al centro del semicerchio. Una volta ritagliato il cerchio (che ha quindi raggio pari a 5cm) si vede allo stesso modo che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale, è quello di lato 5cm con la base posta sul raggio del semicerchio iniziale, quindi con il cerchio di raggio pari a 2,5cm... il resto poi sono calcoli

Come dimostri che il raggio dei due cerchi piccoli è 2.5 cm sapendo che il raggio del semicerchio è 10 cm e quello del cerchio grande 5 cm?

A dire la verità sono andato ad intuito

Haile ha scritto:

String ha scritto:Mah, io non ho usato Pitagora...
Ho visto che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale è quello di lato 10cm al centro del semicerchio. Una volta ritagliato il cerchio (che ha quindi raggio pari a 5cm) si vede allo stesso modo che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale, è quello di lato 5cm con la base posta sul raggio del semicerchio iniziale, quindi con il cerchio di raggio pari a 2,5cm... il resto poi sono calcoli

Come dimostri che il raggio dei due cerchi piccoli è 2.5 cm sapendo che il raggio del semicerchio è 10 cm e quello del cerchio grande 5 cm?

Mi sono permesso di sporcare la tua immagine (pura pigrizia) aggiungendo un po' di tangenti e raggi.

Si trova che (o ragioniamo sul trapezio o su qualche triangolo)

$ Rr = x^2 $

Ovvero $ r = \frac{x^2}{R} $

Che è sempre crescente. Per r abbiamo anche un upper-bound
$ MAX(r) = \frac{R}{2} $

Di più non può essere, altrimenti ovviamente sarà secante almeno uno tra la circonferenza O'-R e la semicirconferenza.

Puta caso, sarà proprio r = R/2 = 5/2 ? Verifichiamolo.

Sistema cartesiano, O (0,0) centro della semicirconferenza, O' in (0,5) $ O''(-5\sqrt{2}; \frac{5}{2}) $

Calcoliamo la distanza $ O'O'' $ e viene proprio r+R, quindi le due circonferenze sono tangenti. Calcoliamo la distanza $ OO'' $ e viene proprio $ \frac{15}{2} $ ovvero 10-r, quindi la circonferenza piccola e tangente alla semicirconferenza.

Si può calcolare r applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $ \triangle OO''H $ , dove con H indico la proiezione di $ O'' $ sul diametro della semicirconferenza. Poichè O e O'' sono allineati con il punto di tangenza della crf piccola e della semicrf, $ OO''=2R-r $ . Perciò
$ \displaystile r^2 + (2x)^2 = (2R-r)^2 $
Dato che $ x^2 = Rr $ , si ottiene
$ \displaystile r^2 + 4Rr = 4R^2-4Rr+r^2 $
$ \displaystile 4R^2-8Rr =0 \Rightarrow r= \frac{R}{2} =\frac{5}{2} $ .
Perciò $ \displaystile \frac {A_{sprecata}}{A_{totale}}= \frac {50\pi-25\pi-12,5\pi}{50\pi}=\frac{12,5}{50}=\frac{1}{4} $ .
La percentuale di cartoncino sprecata è il $ 25 $ %. (OT: come si fa la percentuale in $ \LaTeX $ ? /OT)

% e' il simbolo usato in $ ~\LaTeX $ per commentare le righe
basta che lo "backslashi", come con molti altri caratteri speciali
\%
$ ~\% $