Giochi di archimede 3- numeri ancora piu belli

[jordan]

Quanti sono i numeri di n cifre che non contengono le cifre 0 e 5 e che sono multipli di 3?

[dario2994]

il risultato dovrebbe essere
$ $\frac{8^n}{3}$ $
perchè i possibili numeri che soddisfano la prima richiesta sono
8^n dato che ogni cifra puo essere 8 cose diverse (1-2-3-4-6-7-8-9)
di questi numeri 1 su 3 è multiplo di 3

[EvaristeG]

Beh quel numero non è intero, quindi è difficile che sia la risposta a "quanti sono?" ...
Il problema è che, se togli quelli con 0 e 5, non è più vero che i multipli di 3 sono un terzo del totale. Ad esempio, prendi i numeri positivi di 1 cifra che non contengono 0 o 5, che sono 8. I multipli di 3 sono 3,6,9, quindi sono 3, ma non sono uno ogni 3, tra questi numeri senza 0 e senza 5:
1 2 3 4 6 7 8 9.
Lo stesso potrai vedere facendo il caso con 2 cifre (che ancora si può fare a mano).

[Memnarch]

Ma sicuro che sia per i giochi di Archimede? E' abbastanza tosto... o forse sono io che non ci arrivo?

[Veluca]

io direi
$ p_n=8^{n-1}*3-p_{n-1} $
ho fatto qualche prova e credo che venga...
motivo:
$ 8^{n-1} $: ognuna delle prime n-1 cifre può essere scelta tra 8 possibilità
$ *3 $: l'ultima cifra può essere scelta in tre modi (1,4,7;2,5,8;3,6,9)
$ -p_{n-1} $: toglie alle precedenti le combinazioni che comportano il 5 come ultima cifra

[jordan]

@Veluca, e come lo definisci $ p_{n-1} $?

@Memnarch, ti posso dire che una domanda simile è uscita qualche anno fa ai nazionali della romania..

[Veluca]

ops XD
$ p_1=3 $
di qui ricorsivamente...

[jordan]

e puoi ricavare una formula esplicita?..dario2994 c'è andato vicino

[Veluca]

ok, dopo due conti mi è venuto questo
n dispari: $ \frac{8^n+1}{3} $
n pari: $ 3*8^n-\frac{8^{n+1}+1}{3} $
credo che sia giusto... spero