OliForum Matematico

Mostrare che se $ \displaystyle \sum_{i=1}^j{a_i^2} \le \sum_{i=1}^j{i^2}, \forall j \in [1,4], \{a_i\}_1^4 \in \mathbb{R} $ allora $ \displaystyle \sum_{i=1}^4{a_i} \le \sum_{i=1}^4{i} $

Ovviamente se vale sui positivi vale anche sui negativi, pongo gli $ $a_i $ positivi.
$ $1=\sqrt{\frac 55}\ge\sqrt{\frac{a_1^2+\frac{a_2^2}{4}+\frac{a_2^2}{4}+\frac{a_2^2}{4}+\frac{a_2^2}{4}}{5}}\ge\frac{a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_2}{2}}{5}\rightarrow a_1+2a_2\le5 $
Analogamente si dimostra che $ $a_1+2a_2+3a_3\le14 $ e $ $a_1+2a_2+3a_3+4a_4\le30 $, inoltre ho ovviamente $ $a_1\le1 $. Sommo queste quattro disuguaglianze un numero opportuno di volte finché non ottengo $ $12a_1+12a_2+12a_3+12a_4\le120 $, da cui la tesi.

ti e' scappato un "fratto 5" nella media quadratica (sono un correttore di bozze nel profondo)

corretto grazie
quel codice LaTeX è un vero orrore, sapevo mi sarebbe scappato qualcosa...

jordan ha scritto: $ \forall j \in [1,4], \boxed{\{a_i\}_1^4 \in \mathbb{R}} $

Cosa sta a significare questa parte del testo?

Io l'ho inteso che gli $ $a_i $ appartengono ad R, non so se però sia una notazione standard.

julio14 ha scritto:Io l'ho inteso che gli $ $a_i $ appartengono ad R, non so se però sia una notazione standard.

Quindi quel $ $\{a_i \}^4_1$ $?

sta esattamente per

$ ${a_1, a_2, a_3, a_4} \in \mathbb{R}$ $

Si credo intendesse quello

O altrimenti, poichè l'uguaglianza vale quando $ 1=a_1=\frac{a_2}{2}=\frac{a_3}{3}=\frac{a_4}{4} $, si può tentare direttamente con le medie:

$ \displaystyle\frac{a_1+ 2\cdot\frac{a_2}{2}+ 3\cdot\frac{a_3}{3}+ 4\cdot\frac{a_4}{4}}{10}\leq \sqrt{\frac{a_1^2+\frac{a_2^2}{2}+\frac{a_3^2}{3}+ \frac{a_4^2}{4}}{10}} $
e a questo punto raggruppando un po' si ottiene

$ \displaystyle=\sqrt{\frac{\frac 14 (a_1^2+..+a_4^2)+\frac 1{12}(a_1^2+..+a_3^2)+\frac 16 (a_1^2+a_2^2)+\frac 12 a_1^2}{10}}\leq 1 $
da cui la tesi

jordan ha scritto:Mostrare che se $ \displaystyle \sum_{i=1}^j{a_i^2} \le \sum_{i=1}^j{i^2}, \forall j \in [1,4] $[...]

Così però sembra che $ j $ appartenga all'intervallo chiuso $ [1,4] $...

Penso che al posto della $ j $ ci vada una $ i $, e che julio abbia dato l'interpretazione corretta per $ \{a_i\}_1^4 $

Comunque con la notazione di jordan (e non solo) c'è un'unica regola: quando ci sono troppi simboli si va d'intuito, e se il problema che viene fuori è sensato allora quella è l'interpretazione giusta!

Se non ho risposto prima è solo per non allungare il topic.. rispondo a tutti:

@julio: vedi, tho dato anche lo stimolo a pubblicare il "primo post in inglese"
Ringrazio Skz di seguire con obiettività tutti i miei (e i nostri in genere) topic..
@Haile, l'interpretazione di julio14 è naturalmente quella giusta, una volta quella lho trovata su una dispensa "unknown source" o perlomeno "disperso nel mio ard-disk"
e cmq g(n) ha ragione, un po di intuito qualche volta non ci sta male (anche se in teoria..)
@Ani-Sama, completamente d'accordo..
@g(n) ok alla dimostrazione, ma la j non è invertita con la i, significa solo che per ipotesi hai quattro disuguaglianze

jordan ha scritto:la j non è invertita con la i, significa solo che per ipotesi hai quattro disuguaglianze

Si scusa, che stupido.. me ne rendo conto solo adesso!

julio14 ha scritto:non so se però sia una notazione standard.

no, la notazione standard sarebbe
$ a_i \in \mathbb{R} \text{ per } i=1, \dots, 4 $

oppure

$ a_1, \dots, a_4 \in \mathbb{R} $