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Sia $ n \in \mathbb{N} $ fissato e $ v_p(x): \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ la valutazione p-adica di x ( cioè $ p^{v_p(x)}|x $ ma $ p^{v_p(x)+1} \nmid x $ ).

Quanto vale $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2^n}{v_2(i)} $?

Premetto è molto difficile

qua una volta c'era una soluzione, che forse è meglio lasciare ai baldi giovini.

Era una battuta..

ops ok... allora lo tolgo e lo lascio alle nuove leve

Detto in parole povere, la valutazione p-adica di un numero x è l'esponente della massima potenza di p che divide x.
Ora, $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2^n}{v_2(i)} $ è uguale al numero di fattori 2 presenti nelle scomposizioni in fattori primi dei numeri da $ 1 $ a $ $ 2^n $ . Per contarli, consideriamo quanti sono i multipli di 2 in questo intervallo, poi aggiungiamo alla sommatoria i multipli di 4 nell'intervallo, e così via aggiungiamo tutti i multipli di $ 2^i $ presenti nell'intervallo $ [1;2^n] $ .
Perciò $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2^n}{v_2(i)} = \frac{2^n}{2} + \frac{2^n}{2^2} + \frac{2^n}{2^3} + \cdots + \frac{2^n}{2^n} = \sum_{i=1}^{n-1}{2^i}= 2^n-1 $ .
Spero di essere stato chiaro e di non aver scritto fesserie...