julio14 ha scritto:Derivando è abbastanza semplice... qualcuno ha una soluzione olimpica? (anche se la vedo dura vista la fonte e vista la facile soluzione con la derivata)
Mmm, se fissi un piano nella sfera S hai che il punto che massimizza il volume del cono è il punto sulla retta centro(cerchio)-centro(sfera), che sta sulla sfera, e ha distanza massima dal centro del cerchio, questo mi pare abbastanza ovvio.
Quindi posto $ R $ il raggio della sfera, e definito $ \alpha $ l'angolo tra l'asse del cerchio e un qualunque raggio $ R $ che tocchi la circonferenza, abbiamo che il raggio $ r $ del cerchio soddisfa la relazione $ r=R \sin{\alpha} $. L'altezza del cono di conseguenza vale $ R(1+\cos{\alpha}) $. Non dimentichiamo che $ \alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] $.
Dobbiamo quindi massimizzare la funzione $ \frac{1}{3}(\pi R^2 (\sin{\alpha})^2 )(R(1+\cos{\alpha})) $ sse $ max\{\cos{\alpha}-\cos^2{\alpha}-\cos^3{\alpha}\} $. Posto $ x=\cos{\alpha} \in [0,1] $ dobbiamo quindi minimizzare la funzione $ f(x)=x(x^2+x-1) $ nell'intervallo $ [0,1] $.
Dato che è una cubica avrà al massimo tre radici reali ( e le ha): per verificare che $ x=x_0 $ è minimo sarà quindi sufficiente mostrare che almeno per valori vicino a $ x_0 $ (sto cercando in tutti i modi di non chiamarlo intorno
) valgono entrambe le disuguaglianze $ f(x_0 \pm h) > f(x_0), h>0 $. Proviamo a sostituire..
i) $ f(x_0+h)>f(x_0) $ sse $ x^3+x^2(3x_0+1)+x(3x_0^2+2x_0-1)>0 $.
ii) $ f(x_0-h)>f(x_0) $ sse $ x^3+x^2(3x_0+1)-x(3x_0^2+2x_0-1)>0 $.
Sappiamo che la soluzione è unica (dato che la cubica puo avere un solo minimo) e che se il coefficiente di x vale 0 allora entrambe le equazioni sono soddisfatte: bingo! La radice accettabile di $ 3x_0^2+2x_0-1 $ è $ x_0=1/3 $ da cui il risultato del problema.
(PS. non lo dite a nessuno che quell'espressione era proprio la nostra derivata
)
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