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Stamane a scuola abbiamo svolto questo problema: dato un mazzo di 40 carte, trovare il numero di modi di scegliere 5 carte di cui almeno una è un asso.
Il prof ha dato la seguente soluzione: ci sono $ 40\choose5 $ modi di prendere 5 carte, e $ 36\choose5 $ modi di prendere 5 carte di cui nessuna è un asso. Dunque i modi di prendere almeno un asso sono $ {40\choose5}-{36\choose5} $.
Io ed altri abbiamo invece proposto la seguente: ci sono 4 modi di prendere un asso, le altre 4 carte possono essere prese senza vincoli tre le 39 rimanenti, dunque ci sono $ 4{39\choose4} $ modi.

Il punto è questo: nonostante i due metodi scelti siano entrambi corretti (almeno apparentemente), si può facilmente verificare che i risultati sono diversi. Dunque uno dei due è sbagliato...sapreste dire quale e perché?

Secondo me è la vostra quella sbagliata perché contando in questo modo
consideri uguali situazioni diverse (es. pescare un asso a e poi un asso b
per la tua formula è diverso da pescare prima b e poi a)
se la modifichi così funziona (e viene un risultato uguale a quello del tuo prof)
$ $4{39\choose4}-{4\choose2}{38\choose3}+{4\choose1}{37\choose2}-{4\choose0}{36\choose1}$ $
Detesto i conteggi (è così che si chiamano no?) perché è facilissimo fare errori e contare cose in + / cose in - !!!

ecco cos'era! Inutile a questo punto modificare la formula, troppo complicato.
Hai proprio ragione: i conteggi sono odiosi, sfugge sempre qualcosa...