OliForum Matematico

Per farmi perdonare il 3 dell\'altro post
<BR>ecco altri problemotti ( teoria dei numeri , facilini, ma ho perso alcuni problemi fighi nei meandri del computer)
<BR>
<BR>1) dimostrare che a^2 + b^2 == 0 (mod 3) ==> a==0 et b==0 (mod 3)
<BR>
<BR>2) dimostrare che se n>5 e non primo allora (n-1)!==0 (mod n)
<BR>
<BR>3) dimostrare il piccolo teorema di fermat con l\'induzione
<BR>
<BR>4) dimostrare i noti criteri di divisibilità per 2,3,5,7,9,11
<BR>
<BR>o vecchie leve! non mangiatevi in pochi minuti questi problemi!
<BR>dedicatevi a questo sotto!
<BR>
<BR>5) dimostrare il teorema di wilson
<BR>
<BR>se p primo allora (p-1)! == -1 (mod p)
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 14-03-2003 22:50 ]

non manca il fattoriale sul teorema di wilson?

ora non più ^_^ <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

Per ogni primo dispari p e ogni a non diviso da p, a può essere residuo o non-residuo di p.
<BR>1) Se è residuo, vi sarà un numero x tale che x^2==a mod p
<BR>e vi sarà anche (p-x)^2==a mod p.
<BR>Tra gli altri numeri da 1 a p-1, potremo formare delle coppie tali che il loro prodotto dia a. Quindi avremo tra i numeri da 1 a p-1, una coppia di numeri x e p-x tali che x(p-x)==-a mod p e 1/2(p-3) coppie di numeri diversi il cui prodotto è ==a mod p. Allora (p-1)!=-a*a^(1/2(p-3))=-a^(1/2(p-1)).
<BR>2) Se non esiste un tale numero allora avremo 1/2(p-1) coppie di numeri diversi tra loro il cui prodotto sia ==a mod p. Quindi (p-1)!==a^(1/2(p-1)).
<BR>Dunque, intendendo con [a/p] il simbolo di Legendre che assume valore 1 se a è residuo quadratico di p e -1 se a è non residuo di p, potremo scrivere:
<BR>
<BR>(p-1)!==-[a/p]*a^1/2(p-1) mod p
<BR>
<BR>questo vale anche per p primo pari, ovvero=2, per verifica immediata.
<BR>
<BR>Da qui si ricava il T. di Wilson come caso particolare in cui a =1. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">