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Dicono che sia abbastanza conosciuto:

Sia $ N=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot\cdot\cdot 98!\cdot 99!\cdot 100! $. Si puo' togliere un fattoriale da questo prodotto in maniera tale che il numero rimanente sia un quadrato perfetto?

Buon Lavoro.

$ \displaystile N=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \dots \cdot 98!\cdot 99!\cdot 100! = 1^{100} \cdot 2^{99} \cdot 3^{98} \cdot 4^{97}\cdot \dots \cdot 98^3 \cdot 99^2 \cdot 100^1 = (1^{100} \cdot 3^{98} \cdot 5^{96}\cdot \dots \cdot 97^4 \cdot 99^2 ) \cdot (2^{99} \cdot 4^{97} \cdot 6^{95}\cdot \dots \cdot 98^3 \cdot 100^1 ) = $
$ \displaystile = (1^{50} \cdot 3^{49} \cdot 5^{48}\cdot \dots \cdot 97^2 \cdot 99 )^2 \cdot (2^{98} \cdot 4^{96} \cdot 6^{94}\cdot \dots \cdot 98^2) (2\cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot 96 \cdot 98 \cdot 100 ) = (1^{50} \cdot 3^{49} \cdot 5^{48}\cdot \dots \cdot 97^2 \cdot 99 )^2 \cdot (2^{49} \cdot 4^{48} \cdot 6^{47}\cdot \dots \cdot 98^1)^2 \cdot 2^{50} \cdot 50! $
Se dividiamo per $ 50! $ , $ N $ diventa un quadrato perfetto.
Ho sbagliato qualcosa?

Perfetto!!

Senza fare tutti i conti, a uno poteva venire l'ispirazione divina di dire: "vediamo se vale per tutti gli interi del tipo $ 4n $, ovvero se moltiplico tutti i fattoriali fino a $ 4n $ e poi divido per $ (2n)! $ mi viene un quadrato perfetto"
e tentare di dimostrarlo.

Qualcuno che ci prova?