OliForum Matematico

...Dall'aspetto un po' insolito.

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1+2^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{3}}+...+n^{\frac{1}{n}}}{n}} $

Mi pare che venga 1, applicando qualche teorema di Cesaro.

Chiamo $ \displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{\frac{1}{i}}=k_n $ e $ \displaystyle{\frac{k_n}{n}=f(n) $.
Dimostro quindi che $ \displaystyle\lim_{n \to \infty}{f(n)}=1 $.

Per prima cosa, osservo che tutti i termini della sommatoria sono maggiori di 1, in quanto potenze con base maggiore di 1 e indice positivo. Quindi $ \displaystyle f(n)>\frac{1+1+...+1}{n}=\frac{n}{n}=1 $.
Di conseguenza, per definizione, la tesi equivale a domstrare che, per ogni $ \epsilon>0 $ esiste un $ N $ tale che $ f(n)< 1+\epsilon $ per ogni $ n\geq N $.
Poiché $ \displaystyle\lim_{n \to \infty}{n^{\frac{1}{n}}}=1 $, per ogni $ \epsilon $ scelgo un $ \phi < \epsilon $ tale che $ n^{\frac{1}{n}}< 1 + \phi $ per ogni $ n \geq M $. Quindi, per ogni $ n \geq M $ vale $ \displaystyle f(n) < \frac{k_M+(n-M)(1+\phi)}{n} $. Inoltre, per ogni $ \displaystyle n > \frac{k_M-M(1+\phi)}{\epsilon-\phi} $ vale $ \displaystyle\frac{k_M+(n-M)(1+\phi)}{n} < 1+\epsilon $ (basta risolvere la disequazione).
Riordinando, per ogni $ \displaystyle n > \frac{k_M-M(1+\phi)}{\epsilon-\phi} $, succede che:
$ \displaystyle 1 < f(n) < \frac{k_M+(n-M)(1+\phi)}{n} < 1+\epsilon $, ossia la tesi.