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non è proprio un problema, piuttosto una curiosità

esiste un metodo per esprimere sotto forma di prodotto di potenze di primi un qualsiasi fattoriale?

Sul vangelo di san Gobbino dovrebbe esserci una "massima potenza di p che divide un fattoriale". Prendi quella formula per tutti i p.
Se oggi eccezionalmente non hai la tua copia del Gobbino dentro lo zaino , te lo riassumo in breve.
-come possono capitare potenze di p in un fattoriale? Possono venire dai multipli di p, di p^2, p^3, eccetera
-quante volte becchi un multiplo di p? Esattamente $ \left[\frac n{p}\right] $ (le quadre sono una parte intera), e ognuno di questi contribuisce con un "1".
-quante volte becchi un multiplo di p^2? Esattamente $ \left[\frac n{p^2}\right] $; ognuno di questi contribuirebbe con un "2", ma un "1" glielo abbiamo già assegnato quando lo contavamo come multiplo di p, quindi per adesso contribuisce solo con un "1".
-ripeti... dovrebbe venire $ ord_p(n!)=\left[\frac n{p}\right]+\left[\frac n{p^2}\right]+\left[\frac n{p^3}\right]+\left[\frac n{p^4}\right]+\dots $ (nota che dopo un po' i termini sono tutti zero).

Puoi anche vederlo con un disegnino illuminante in cui scrivi in riga i numeri da 1 a n, su ognuno disegni una colonnina alta "h" quadratini, dove "h" è la massima potenza di p che divide n, e poi conti i quadratini per righe anziché per colonne (double counting rules!)

Se qualcosa non è chiaro chiedi, ciao,

grazie

stavo pensando ad una cosa del genere stamattina a scuola, ora mi confermi che è giusta

fph, ma questa roba si può usare alle gare senza dimostrazione?

bestiedda ha scritto:fph, ma questa roba si può usare alle gare senza dimostrazione?

Yes.

fph ha scritto:-ripeti... dovrebbe venire $ ord_p(n!)=\left[\frac n{p}\right]+\left[\frac n{p^2}\right]+\left[\frac n{p^3}\right]+\left[\frac n{p^4}\right]+\dots $

Ma le valutazioni p-adiche non si scrivevano $ v_p(n!) $?

jordan ha scritto:

fph ha scritto:-ripeti... dovrebbe venire $ ord_p(n!)=\left[\frac n{p}\right]+\left[\frac n{p^2}\right]+\left[\frac n{p^3}\right]+\left[\frac n{p^4}\right]+\dots $

Ma le valutazioni p-adiche non si scrivevano $ v_p(n!) $?

Ehm hai ragione, mi è uscito dalla penna^Wtastiera il simbolo sbagliato. Ord è un'altra cosa.