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masochismo trigonometrico
Inviato: 27 nov 2008, 23:10
da julio14
Un mio amico con chiare tendenze suicide, mi ha proposto questo simpatico problema: trovare una formula generale per esprimere $ $sin(n\alpha) $ e $ $cos(n\alpha) $ in funzione di $ $sin(\alpha) $ e $ $cos(\alpha) $. Mentre io provavo a trovare un metodo generale per fare 'sti maledetti conti, un'induzione o qualcosa del genere, lui molto allegramente calcolava cose come $ $sin(9\alpha) $. Come era prevedibile, si trovano parecchie simmetrie, a volte sfocianti nella numerologia, ma i numeri e i conti aumentano a vista d'occhio. Io ho trovato una semistrada, devo però ancora riordinarla e non sembra una cosa facile. Qualcuno ha un'idea decente (spero più della mia)?
Inviato: 28 nov 2008, 00:41
da jordan
$ \displaystyle 2\cos x={e^{ix}+e^{-ix}} $?

Inviato: 28 nov 2008, 02:07
da SkZ
oppure
$ $\cos{nx}=\Re{[e^{inx}]}=\Re{[\left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^n]}=... $
Inviato: 28 nov 2008, 10:20
da fph
Quello che i soprapostanti ti stanno suggerendo in modo un po' criptico è di andare sul sito di Gobbino e scaricare la lezione di Algebra I (polinomi e complessi) di uno stage senior.

Inviato: 28 nov 2008, 19:49
da julio14
beh si... ma io cercavo qualcosa più terra terra, per il mio amico.... al massimo la prendo come occasione per spiegargli i complessi (è bravo in mate ma reticente ad ogni sviluppo extrascolastico

)
Inviato: 28 nov 2008, 21:21
da kn
Le formule più semplici secondo me sono queste:
$ \displaystyle\cos{nx}=\binom{n}{0}\cos^n x - \binom{n}{2}\cos^{n-2} x\sin^2 x + \binom{n}{4}\cos^{n-4} x\sin^4 x - \binom{n}{6}\cos^{n-6} x\sin^6 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k} x\sin^{2k} x + \dots $
$ \displaystyle\sin{nx}=\binom{n}{1}\cos^{n-1} x\sin x - \binom{n}{3}\cos^{n-3} x\sin^3 x + \binom{n}{5}\cos^{n-5} x\sin^5 x - \binom{n}{7}\cos^{n-7} x\sin^7 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1} x\sin^{2k+1} x + \dots $
Si ottengono combinando la formula di De Moivre con quella di Newton della potenza di un binomio

Inviato: 29 nov 2008, 14:41
da elendil
SkZ ha scritto:oppure
$ $\cos{nx}=\Re{[e^{inx}]}=\Re{[\left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^n]}=... $
[OT] Che cos'è e cosa vuol dire $ \Re $? [/OT]
Inviato: 29 nov 2008, 14:43
da Haile
elendil ha scritto:SkZ ha scritto:oppure
$ $\cos{nx}=\Re{[e^{inx}]}=\Re{[\left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^n]}=... $
[OT] Che cos'è e cosa vuol dire $ \Re $? [/OT]
Parte reale.
Inviato: 09 dic 2008, 21:22
da Mondo
C'è anche (ma non so quanto possa essere utile...) questa formula dovuta, se non sbaglio, a Dirichlet:
$ \frac{1}{2}+cos(x)+ cos(2x) + \cdots + cos nx= \displaystyle \frac{sin(n+\frac{1}{2})x}{2sin (\frac{x}{2})} $
Inviato: 09 dic 2008, 22:14
da SkZ
a proposito di quella formula
$ $\dots=\sum_{k=0}^ne^{ikx}=\dots $
PS: a che pro? e' piu' facile da ricordare cosi'
Inviato: 11 dic 2008, 22:40
da mitchan88