OliForum Matematico

Sia P un insieme di cardinalità M di interi positivi.
<BR>Sia Q l\'insieme dei numeri nella forma 2^k + n con n appartenente a P o Q e k appartenente a Z+.
<BR>Determinare se è possibile trovare M finito per cui ogni intero positivo appartiene a P o Q.
<BR>
<BR>Non so minimamente quale possa essere la soluzione.
<BR>Sono circa 2 giorni che tiro fuori considerazioni lapalissiane e null\'altro.
<BR>
<BR>[/mode Supplica ON]
<BR>VI PREGO RISOLVETELO <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>[/mode Supplica OFF]
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 17-03-2003 14:04 ]

Uhm... potrebbe essere una cazzabubbola, ma se M=1, e P={1}, non è già verificata l\'ipotesi? Ogni numero positivo può essere scritto come somma di un numero finito di potenze di 2... sparatemi se ho sparato una cazzata.

uff...mi scordo sempre qualcosa...in P non ci può essere 1...in realtà \'sta roba è parte di un problema più grosso e figo...forse mi sono infognato in una soluzione senza uscita!
<BR>
<BR>avevo scritto M invece di P...Scusa Evariste (messaggio sotto)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 17-03-2003 16:15 ]

Quando dici che in M non ci può essere 1 intendi dire che M>1, giusto, cioè che P deve avere almeno 2 elementi ? Perchè se invece 1 non può essere in P basta che P={0} e M=1.
<BR>Btw: tra gli interi positivi fai rientrare anche lo 0?

Non mi e\' chiara questa parte:
<BR>
<BR>\"Sia Q l\'insieme dei numeri nella forma 2^k + n con n appartenente a P o Q e k appartenente a Z+. \"
<BR>
<BR>mi sembra una definizione ricorsiva ( che, di per se\', potrebbe essere corretta, pero\' ...) che non riesco ad interpretare. Puoi fare qualche esempio di elementi dell\'insieme Q?
<BR>
<BR>
<BR>

no,non faccio rientrare lo 0, altrimenti...
<BR>
<BR>cmq che so prendo P = {2} e in Q ci stanno tutti i pari
<BR>

ora purtroppo non posso, cmq stasera posto il lungo post del problema originario + la mia parte di soluzione.

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-03-17 16:13, Azarus wrote:
<BR>no,non faccio rientrare lo 0, altrimenti...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Allora è semplicemente impossibile che in P<!-- BBCode Start --><B>U</B><!-- BBCode End -->Q siano contenuti tutti i naturali: 1=2^k+n se n=0 e k=0. Se invece vuoi che nell\'insieme detto siano contenuti tutti i naturali tranne 1...bhe, ci penso! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

P={2;3}
<BR>4=2^1+2
<BR>5=2^1+3
<BR>6=2^2+2
<BR>7=2^2+3
<BR>8=2^2+2
<BR>9=2^2+5
<BR>10=2^2+6
<BR>11=2^2+7
<BR>...
<BR>M=2 e ci rientrano tutti i naturali tranne 1! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Può andare?

mi sono reso conto che, così formulato, il problema risulta essere banale (come Evariste ha dimostrato).
<BR>
<BR>in realtà il problema è che i k del 2^k + n sottostanno a precise regole, dovendo essere una funzione di n.
<BR>
<BR>Mi spiego meglio:
<BR>
<BR>definiamo una f(n) in questo modo con n naturale in questo modo:
<BR>
<BR>f(n) = 3n+1 se n dispari
<BR>f(n) = n/2 se n pari
<BR>
<BR>reiteriamo la funzione sul risultato in modo da costruire una successione,ad esempio
<BR>
<BR>3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
<BR>
<BR>la congettura di Syracuse afferma che per ogni n la successione prima o poi passerà per 1.
<BR>
<BR>Diamo un po\' di definizioni: chiamiamo \"volo alto\" i passaggi in cui la successione è maggiore del numero di partenza,incluso il passaggio finale
<BR>(insomma nell\'esempio fino a 2)
<BR>
<BR>Chiamiamo \"numero di riduzione\" il numero di divisioni per 2 nel volo alto(nell\'esempio 4, essendo incluso il passaggio finale), e definiamo una funzione g(n) che associa ad n il suo Num. Rid.
<BR>
<BR>Chiamiamo contraddittore un numero la cui successione diverge ad infinito oppure ha un ciclo periodico diverso da 1,2,4,1.
<BR>Supponiamo poi per assurdo (?) che la congettura sia falsa,dunque deve esistere un minimo contraddittore.
<BR>
<BR>risulta teorema imediato e di dimostrazione triviale che se k>=g(n)
<BR>allora 2^k + n non è mai il più piccolo contraddittore.
<BR>
<BR>se non è il più piccolo contraddittore allora g(2^k + n) è un valore finito, dunque so che esiste m per cui 2^m + 2^k + n non contraddice.
<BR>
<BR>ora, se è possibile trovare un sottoinsieme finito dei naturali per cui la congettura è vera allora è vera per tutti gli N, ma non so minimamente come trovare questo insieme.
<BR>
<BR>ecco qua il vero problema ^_^
<BR>
<BR>

Alla faccia...la sequenza 3x+1, sive problema di Collatz, sive congettura di Syracuse...certo stai affrontando Golia con una fionda, caro il mio Azarus.
<BR>Se vuoi ho più o meno una marea di links sull\'argomento, con una pretesa dimostrazione di un certo Shorer, anche se non mi convince molto...Cmq in bocca al lupo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

gh, adoro questo problema...anche se so che non ha minimamente senso affrontarlo....cmq mi faresti un enorme piacere a linkare